Калькулятор площади треугольника

Как найти площадь треугольника?

Наш онлайн-калькулятор поможет определить площадь треугольника различными методами. В зависимости от доступных данных можно применять разные формулы. Выберите подходящий способ, введите необходимые значения и получите решение задачи.

1. Через основание и высоту

Рассчитайте площадь, используя половину произведения длины основания на соответствующую высоту.

В рассчете используется формула:

S = (a × h) / 2

где:

• S — площадь треугольника;
• a — длина основания;
• h — высота, опущенная на основание.

2. При помощи формулы Герона

Когда известны длины всех трёх сторон, применяйте формулу Герона. Сначала вычислите полупериметр — половину суммы сторон, а затем используйте его вместе с длинами для нахождения площади.

Формула Герона:

S = √[p × (p - a) × (p - b) × (p - c)]

где:

• p — полупериметр, вычисляется как p=(a+b+c)/2p = (a + b + c) / 2p=(a+b+c)/2;
• a, b, c — длины сторон.

3. По двум сторонам и углу между ними

Площадь определяется по двум сторонам и углу между ними через половину произведения этих сторон на синус прилежащего угла. Этот подход полезен, когда известны именно эти параметры.

S = (a × b × sin γ) / 2

где:

• a и b — длины двух сторон;
• γ — угол между этими сторонами.

4. Через радиус описанной окружности

Если заданы стороны и радиус описанной окружности, площадь вычисляется умножением сторон и делением на четыре радиуса окружности.

S = (a × b × c) / (4 × R)

5. С использованием радиуса вписанной окружности

Площадь можно найти, умножив полупериметр на радиус вписанной окружности.

S = p × r

где:

• p — полупериметр;
• r — радиус вписанной окружности.

6. Для равносторонних и равнобедренных треугольников

У равностороннего треугольника площадь рассчитывается как квадрат длины стороны, умноженный на корень из трёх и делённый на четыре. Для равнобедренных учитываются равные стороны и основание, причём углы при основании равны.

• Равносторонний треугольник:

S = (a² × √3) / 4

• Равнобедренный треугольник:

S = (b × h) / 2

где:

• b — основание;
• h — высота к основанию.

7. По координатам вершин

Зная координаты вершин, используйте половину модуля определителя, составленного из этих точек, для вычисления площади. Этот метод также помогает определить углы треугольника.

Используется формула:

S = |(x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂))| / 2

где:

• (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) — координаты вершин.

8. Через векторы

Площадь равна половине модуля векторного произведения двух векторов, представляющих стороны.

Если заданы векторы AB и AC:

S = |AB × AC| / 2

9. Через матрицы

При наличии координат вершин эффективно использовать определитель матрицы для расчёта площади.

S = (1 / 2) × |det|

матрица:

| x₁ y₁ 1 |

| x₂ y₂ 1 |

| x₃ y₃ 1 |

10. По сторонам и углам

Зная стороны и углы, можно применять различные формулы. Для прямоугольных треугольников это половина произведения катетов. Это особенно важно, когда известны углы и основание.

S = (a² × sin β × sin γ) / (2 × sin α)

Если прямоугольный треугольник:

S = (a × b) / 2

• a и b — катеты.

11. С применением логарифмов

Логарифмы могут использоваться для сложных вычислений площади.

S = (1 / 4) × √[(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)]

12. По медианам

Используя специальную формулу, площадь определяется по длинам трёх медиан.

Если mₐ, m_b, m_c — длины медиан:

S = (4 / 3) × √[p_m × (p_m - mₐ) × (p_m - m_b) × (p_m - m_c)]

где:

• p_m — полупериметр медиан, pm=(ma+mb+mc)/2p_m = (mₐ + m_b + m_c) / 2pm​=(ma​+mb​+mc​)/2.

Наша разработка позволяет быстро и точно выполнить расчёты онлайн любым из представленных методов. Если возникнут ошибки или вопросы, обратитесь за помощью. Определение площади треугольника является фундаментальной задачей во многих математических и физических приложениях, включая геометрию фигур.