Деление дробей

01Делить дробь на дробь значит умножать на обратную

Вторую дробь — ту, на которую делят, — переворачивают, а потом умножают на неё первую.

Перевёрнутая дробь называется обратной: у 2/5 обратная 5/2, у 7/3 обратная 3/7, у 1/6 обратная 6/1, то есть просто 6.

Две дроби взаимно обратны, если их произведение равно единице: 2/5 × 5/2 = 10/10 = 1. Делить на число и умножать на обратное к нему — одно и то же, а умножать дроби проще: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

Переворачивают именно вторую дробь. Порядок в делении менять нельзя: 3/4 ÷ 2/5 и 2/5 ÷ 3/4 — разные примеры с разными ответами, 1 7/8 и 8/15.

Общий знаменатель здесь не нужен вовсе: он нужен только для сложения и вычитания. При делении дроби берут как есть.

02Решение по шагам

Разберём пример 3/4 ÷ 2/5 — четыре действия, первое из них нужно только для смешанных чисел.

1. Смешанные числа переводим в неправильные дроби. Здесь обе дроби обычные, шаг пропускаем.3/4 ÷ 2/5
2. Переворачиваем вторую дробь. Дробь 2/5 становится 5/2, знак деления меняем на знак умножения.3/4 × 5/2
3. Умножаем числители и знаменатели. 3 × 5 = 15 в числителе, 4 × 2 = 8 в знаменателе.= 15/8
4. Сокращаем и выделяем целую часть. У 15 и 8 общих делителей нет. Числитель больше знаменателя, поэтому делим 15 на 8: получается 1 и остаток 7.= 1 7/8

Проверить ответ можно обратным действием: 1 7/8 × 2/5 = 15/8 × 2/5 = 30/40 = 3/4. Сошлось с делимым.

03Тренажёр: решите сами

Пример меняется по кнопке. Решите его в тетради, впишите ответ и сверьтесь. Не сошлось — откройте решение по шагам.

Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Целую часть заполняют только у смешанного числа, у целого числа в знаменателе оставляют 1.

04Пример посложнее: с сокращением

Считаем 5/6 ÷ 10/9. Ответ придётся сократить — или сократить заранее и не связываться с большими числами.

1. Переворачиваем делитель: 10/9 становится 9/10.5/6 × 9/10
2. Умножаем: 5 × 9 = 45, 6 × 10 = 60.= 45/60
3. Сокращаем. Наибольший общий делитель 45 и 60 равен 15: 45 : 15 = 3, 60 : 15 = 4.= 3/4

Сокращать удобнее до умножения. В примере 5/6 × 9/10 пятёрка в числителе и десятка в знаменателе делятся на 5, девятка и шестёрка — на 3. Остаётся 1/2 × 3/2 = 3/4. Ответ тот же, но считать проще. Отдельно сократить дробь можно на странице сокращения дробей.

05Дробь на целое число

Целое число — это дробь со знаменателем 1. Значит, 2 = 2/1, а обратная к ней 1/2.

Короткий способ: знаменатель умножают на это число, а числитель оставляют без изменения — 3/4 ÷ 2 = 3/4 · 2 = 3/8. Если числитель делится на целое нацело, проще разделить его: 6/7 ÷ 3 = 2/7.

06Целое число на дробь

Записываем целое число дробью со знаменателем 1 и переворачиваем делитель.

Ответ больше делимого, и это не ошибка. Вопрос «6 ÷ 2/3» означает «сколько раз две трети помещаются в шести» — помещаются девять раз. Проверка умножением: 9 × 2/3 = 18/3 = 6.

Правило общее: при делении на дробь меньше единицы результат больше делимого, при делении на дробь больше единицы — меньше. Например, 6 ÷ 3/2 = 6 × 2/3 = 4.

07Смешанные числа

Сначала перевод в неправильную дробь, потом обычное деление. Иначе никак.

Целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. Для 2 1/2 это 2 × 2 + 1 = 5, то есть 5/2. Для 1 1/4 это 1 × 4 + 1 = 5, то есть 5/4.

Делить отдельно целые части и отдельно дробные нельзя. Если посчитать 2 ÷ 1 = 2 и 1/2 ÷ 1/4 = 2, а потом сложить или приписать одно к другому, получится 4 или 2 2/1 — оба ответа неверные.

Когда в примере смешанное число и обычная дробь, в неправильную переводят только смешанное: 3 1/3 ÷ 2/5 = 10/3 × 5/2 = 50/6 = 25/3 = 8 1/3.

08Десятичные дроби

Два рабочих способа: перенести запятую или перевести дроби в обыкновенные.

Перенос запятой. Считают, сколько цифр после запятой у делителя, и переносят запятую вправо на столько знаков в обоих числах. Делитель становится целым, дальше это обычное деление столбиком.

• 4,5 : 1,5 — у делителя один знак после запятой, переносим на один: 45 : 15 = 3;
• 7,2 : 0,08 — у делителя два знака, переносим на два: 720 : 8 = 90;
• 0,6 : 0,25 — два знака: 60 : 25 = 2,4.

Если цифр для переноса не хватает, справа дописывают нули: 7,2 при переносе на два знака превращается в 720, а не в 72.

Через обыкновенные дроби. Десятичную дробь записывают обыкновенной и делят по правилу перевёрнутой:

Способ удобен, когда дробь простая: 0,5 это 1/2, 0,25 это 1/4, 0,75 это 3/4, 0,2 это 1/5. С длинными вроде 0,3125 проще переносить запятую.

Деление на 10, 100 и 1000. Запятую переносят влево на столько знаков, сколько нулей у делителя: 4,5 : 10 = 0,45, 4,5 : 100 = 0,045, 4,5 : 1000 = 0,0045. Если цифр не хватает, слева дописывают нули. При делении на 0,1, 0,01 и 0,001 запятая наоборот идёт вправо: 4,5 : 0,1 = 45.

09Таблица готовых ответов

Слева делимое, сверху делитель, на пересечении — результат в несократимом виде.

Таблица прокручивается вбок.

Сохранить таблицу в PDFоткроется окно печати — там выберите «Сохранить как PDF»

Единица на диагонали — не совпадение: любая дробь, делённая сама на себя, даёт 1. Крайние столбцы противоположны: деление на 2 даёт половину делимого, а деление на 1/2 — удвоение, поэтому последний столбец вчетверо меньше первого.