Деление дробей

Правило деления дробей

Деление дробей заменяют умножением. Вторую дробь — ту, на которую делят, — переворачивают, а потом умножают на неё первую. Перевёрнутая дробь называется обратной: у 2/5 обратная 5/2, у 7/3 обратная 3/7, у 1/6 обратная 6/1, то есть просто 6.

Почему замена работает. Две дроби взаимно обратны, если их произведение равно единице: 2/5 × 5/2 = 10/10 = 1. Деление на число и умножение на обратное к нему дают одинаковый результат, а умножать дроби проще, чем делить: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Отсюда и общая запись:

a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a · d) / (b · c)

Перевернуть нужно именно вторую дробь. Порядок в делении менять нельзя: 3/4 ÷ 2/5 и 2/5 ÷ 3/4 — разные примеры с разными ответами (1 7/8 и 8/15).

Решение по шагам

Разберём пример 3/4 ÷ 2/5.

1. Смешанные числа переводим в неправильные дроби. Здесь обе дроби обычные, шаг пропускаем.
2. Переворачиваем вторую дробь. Дробь 2/5 становится 5/2. Знак деления меняем на знак умножения: 3/4 × 5/2.
3. Умножаем числители и знаменатели. 3 × 5 = 15 в числителе, 4 × 2 = 8 в знаменателе. Получилось 15/8.
4. Сокращаем и выделяем целую часть. У 15 и 8 общих делителей нет, сокращать нечего. Числитель больше знаменателя, поэтому делим 15 на 8: получается 1 и остаток 7. Ответ: 1 7/8.

Проверить ответ можно обратным действием: 1 7/8 × 2/5 = 15/8 × 2/5 = 30/40 = 3/4. Сошлось с делимым.

Пример посложнее: с сокращением

Теперь 5/6 ÷ 10/9.

1. Переворачиваем делитель: 10/9 становится 9/10. Записываем 5/6 × 9/10.
2. Умножаем: 5 × 9 = 45, 6 × 10 = 60. Получилось 45/60.
3. Сокращаем. Наибольший общий делитель 45 и 60 равен 15: 45 : 15 = 3, 60 : 15 = 4. Ответ: 3/4.

Сокращать удобнее до умножения — тогда числа остаются маленькими. В примере 5/6 × 9/10 пятёрка в числителе и десятка в знаменателе делятся на 5, девятка и шестёрка — на 3. После сокращения остаётся 1/2 × 3/2 = 3/4. Ответ тот же, но без работы с трёхзначными числами.

Как разделить дробь на целое число

Целое число — это дробь со знаменателем 1. Значит, 2 = 2/1, а обратная к ней 1/2. Дальше действует то же правило:

3/4 ÷ 2 = 3/4 × 1/2 = 3/8

Короткий способ: при делении дроби на целое число знаменатель умножают на это число, а числитель оставляют без изменения. 3/4 ÷ 2 = 3/(4 · 2) = 3/8. Если числитель делится на целое нацело, проще разделить его: 6/7 ÷ 3 = 2/7.

Смысл действия наглядный: три четверти пирога разделили на двоих, каждому досталось по три восьмых.

Как разделить целое число на дробь

Записываем целое число дробью со знаменателем 1 и переворачиваем делитель:

6 ÷ 2/3 = 6/1 × 3/2 = 18/2 = 9

Ответ больше делимого, и это не ошибка. Вопрос «6 ÷ 2/3» означает «сколько раз две трети помещаются в шести» — помещаются девять раз. Проверка умножением: 9 × 2/3 = 18/3 = 6.

Правило общее: при делении на дробь меньше единицы результат больше делимого, при делении на дробь больше единицы — меньше. Например, 6 ÷ 3/2 = 6 × 2/3 = 4.

Деление смешанных чисел

Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. Для 2 1/2 это 2 × 2 + 1 = 5, то есть 5/2. Для 1 1/4 это 1 × 4 + 1 = 5, то есть 5/4.

2 1/2 ÷ 1 1/4 = 5/2 ÷ 5/4 = 5/2 × 4/5 = 20/10 = 2

Делить отдельно целые части и отдельно дробные нельзя. Если посчитать 2 ÷ 1 = 2 и 1/2 ÷ 1/4 = 2, а потом сложить или приписать одно к другому, получится 4 или 2 2/1 — оба ответа неверные.

Когда в примере смешано смешанное число и обычная дробь, в неправильную дробь переводят только смешанное: 3 1/3 ÷ 2/5 = 10/3 × 5/2 = 50/6 = 25/3 = 8 1/3.

Свой пример со смешанными числами считает калькулятор выше: он показывает перевод в неправильную дробь и остальные шаги.

Деление десятичных дробей

У десятичных дробей два рабочих способа. Первый — перенести запятую, второй — перевести дроби в обыкновенные.

Перенос запятой

Считают, сколько цифр после запятой у делителя, и переносят запятую вправо на столько знаков в обоих числах. Делитель становится целым, и дальше это обычное деление.

• 4,5 : 1,5 — у делителя один знак после запятой, переносим на один: 45 : 15 = 3;
• 7,2 : 0,08 — у делителя два знака, переносим на два: 720 : 8 = 90;
• 0,6 : 0,25 — два знака: 60 : 25 = 2,4.

Если цифр для переноса не хватает, справа дописывают нули: 7,2 при переносе на два знака превращается в 720, а не в 72.

Через обыкновенные дроби

Десятичную дробь записывают обыкновенной и делят по правилу перевёрнутой дроби:

0,75 : 0,5 = 75/100 ÷ 5/10 = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 6/4 = 3/2 = 1,5

Способ удобен, когда десятичная дробь простая — 0,5 это 1/2, 0,25 это 1/4, 0,75 это 3/4, 0,2 это 1/5. С длинными дробями вроде 0,3125 проще переносить запятую.

Деление на 10, 100 и 1000

Запятую переносят влево на столько знаков, сколько нулей у делителя: 4,5 : 10 = 0,45, 4,5 : 100 = 0,045, 4,5 : 1000 = 0,0045. Если цифр не хватает, слева дописывают нули. При делении на 0,1, 0,01 и 0,001 запятая наоборот идёт вправо: 4,5 : 0,1 = 45.

Таблица готовых ответов

В таблице слева делимое, сверху делитель, на пересечении — результат деления в несократимом виде.

Таблица прокручивается вбок.

Нужного примера в таблице нет — впишите свои дроби в калькулятор выше, он посчитает и разберёт решение по шагам.

Единица на диагонали — не совпадение: любая дробь, делённая сама на себя, даёт 1. А деление на 2 всегда даёт половину исходной дроби, поэтому последний столбец получается вдвое меньше делимого.

Частые ошибки

• Переворачивают первую дробь вместо второй. В примере 3/4 ÷ 2/5 переворачивать нужно 2/5. Если перевернуть 3/4, получится 4/3 × 2/5 = 8/15 — это ответ для другого примера, 2/5 ÷ 3/4.
• Ищут общий знаменатель. Он нужен для сложения и вычитания. При делении дроби берут как есть.
• Делят смешанные числа по частям. Целые с целыми, дробные с дробными — так не работает. Сначала перевод в неправильные дроби, потом деление.
• Забывают сократить ответ. 45/60 — технически верный результат, но в школе его не примут: нужно 3/4.
• Переносят запятую только в одном числе. В примере 7,2 : 0,08 запятая двигается на два знака и в делимом, и в делителе. Перенос только в делителе даёт 7,2 : 8 — ответ будет меньше настоящего в сто раз.
• Меняют местами делимое и делитель. Деление не переставляется: 2/3 ÷ 1/6 = 4, а 1/6 ÷ 2/3 = 1/4.

Часто задаваемые вопросы о делении дробей

Как разделить дробь на дробь?

Переверните вторую дробь — поменяйте местами её числитель и знаменатель — и умножьте на неё первую. Например, 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8. Общий знаменатель при делении не нужен.

Почему при делении вторую дробь переворачивают?

Потому что делить на число — то же самое, что умножать на обратное к нему. Обратное к 2/5 — это 5/2, ведь 2/5 × 5/2 = 10/10 = 1. Замена деления умножением на обратную дробь даёт тот же результат, но считается проще.

Как разделить дробь на целое число?

Целое число — это дробь со знаменателем 1, поэтому 3/4 ÷ 2 = 3/4 × 1/2 = 3/8. Короткий способ: умножьте знаменатель на это число, а числитель оставьте — 3/4 ÷ 2 = 3/(4·2) = 3/8.

Как разделить целое число на дробь?

Запишите целое число как дробь со знаменателем 1 и переверните вторую дробь: 6 ÷ 2/3 = 6/1 × 3/2 = 18/2 = 9. Проверка: 9 × 2/3 = 6.

Почему при делении на дробь получается число больше делимого?

Если делитель меньше единицы, ответ выходит больше делимого. Вопрос «6 ÷ 2/3» означает «сколько раз две трети помещаются в шести», а помещаются они девять раз. При делении на дробь больше единицы, например на 3/2, ответ наоборот уменьшается.

Как делить смешанные числа?

Сначала переведите оба смешанных числа в неправильные дроби, потом делите по обычному правилу. Например, 2 1/2 ÷ 1 1/4 = 5/2 ÷ 5/4 = 5/2 × 4/5 = 20/10 = 2. Отдельно делить целые части и отдельно дробные нельзя — ответ будет неверным.

Как делить десятичные дроби?

Перенесите запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько цифр после запятой у делителя, и делите на целое число. Например, 7,2 : 0,08 = 720 : 8 = 90. Второй способ — перевести обе дроби в обыкновенные: 0,75 : 0,5 = 3/4 ÷ 1/2 = 3/2 = 1,5.

Нужно ли приводить дроби к общему знаменателю при делении?

Нет. Общий знаменатель нужен только для сложения и вычитания. При делении и умножении дроби берут как есть.

Как разделить десятичную дробь на 10, 100 или 1000?

Перенесите запятую влево на столько знаков, сколько нулей у делителя: 4,5 : 10 = 0,45, а 4,5 : 100 = 0,045. Если цифр не хватает, слева дописывают нули.

Можно ли делить на дробь, равную нулю?

Нет. Делитель 0/5 равен нулю, а деление на ноль не определено. У перевёрнутой дроби ноль оказался бы в знаменателе, что запрещено.

---