Калькулятор сокращения дробей

Артём Родионов - автор и разработчик калькулятора
Автор и разработчик
Дробь
−
=
Результат
−

Примеры:
Решение

Содержание

Как сократить дробь на калькуляторе

Калькулятор сокращения дробей приводит дробь к несократимому виду: находит наибольший общий делитель числителя и знаменателя, делит на него обе части и показывает пошаговое решение. Введите числитель и знаменатель, при необходимости переключите режим «Смешанная» для дроби с целой частью и нажмите «Сократить дробь». Ответ и разбор появятся ниже.

  • Поля дроби. Верхнее поле - числитель, нижнее - знаменатель. В режиме «Смешанная» слева добавляется поле целой части.
  • Простая / Смешанная. Переключатель над дробью задаёт тип ввода: обыкновенная дробь или смешанное число. Если на входе было смешанное число, ответ тоже будет смешанным.
  • +/− - делает дробь отрицательной и обратно; на сокращение знак не влияет.
  • «Сократить дробь» - выводит несократимую дробь и решение по шагам с НОД. Результат обновляется и сам, пока вы набираете.
  • «Очистить» - сбрасывает поля и результат.
  • «Копировать ответ» и «Ссылка на расчёт» - забрать результат текстом или ссылкой, которая откроет страницу с уже подставленной дробью.
  • Примеры под кнопками подставляют готовую дробь - удобно проверить, как работает сервис. Последние расчёты сохраняются в истории под калькулятором.

Калькулятор бесплатный, работает без регистрации на телефоне, планшете и компьютере. Он пригодится школьникам 5–6 классов и их родителям, студентам и всем, кому нужно быстро упростить дробь и проверить домашнюю работу.

Что значит сократить дробь

Сократить дробь - значит разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число (их общий делитель). Дробь становится проще, а её значение не меняется: 4/8 и 1/2 - это одно и то же число. Сокращение выполняют до тех пор, пока числитель и знаменатель не станут взаимно простыми; тогда дробь называют несократимой.

Чтобы сократить дробь сразу, а не за несколько шагов, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель (НОД). Например, у дроби 18/24 НОД(18, 24) = 6, поэтому 18/24 = 3/4.

Основное свойство дроби

В основе сокращения лежит основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля), значение дроби не изменится. Деление на общий делитель - это сокращение, умножение на дополнительный множитель - приведение к общему знаменателю. Поэтому 1/2 = 2/4 = 3/6, а 10/40 = 1/4 - это записи одного и того же числа.

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

НОД числителя и знаменателя можно найти двумя способами:

  • Разложением на простые множители. Раскладываем оба числа и перемножаем общие множители. Для 18 и 24: 18 = 2 · 3 · 3, 24 = 2 · 2 · 2 · 3; общие множители 2 и 3, значит НОД = 2 · 3 = 6.
  • Алгоритмом Евклида. Большее число делим на меньшее с остатком, затем делитель делим на остаток и так далее, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой делитель и есть НОД. Этот способ использует калькулятор.

Отдельный калькулятор НОД и НОК покажет наибольший общий делитель сам по себе, без дроби.

Признаки делимости для быстрого сокращения

Чтобы заметить общий делитель без вычислений, удобно помнить признаки делимости:

  • на 2 - если число чётное (оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8);
  • на 3 - если сумма цифр делится на 3;
  • на 5 - если число оканчивается на 0 или 5;
  • на 9 - если сумма цифр делится на 9;
  • на 10 - если число оканчивается на 0.

Если числитель и знаменатель подходят под один признак, у них есть общий делитель и дробь можно сократить.

Примеры сокращения дробей

Калькулятор повторяет ровно эти шаги: находит НОД, делит на него числитель и знаменатель и при необходимости выделяет целую часть. Те же дроби можно ввести выше и сверить решение.

  • 4/8. НОД(4, 8) = 4. Делим: (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2.
  • 10/40. НОД(10, 40) = 10. Делим: (10 ÷ 10)/(40 ÷ 10) = 1/4.
  • 18/24. НОД(18, 24) = 6. Делим: (18 ÷ 6)/(24 ÷ 6) = 3/4.
  • 45/15. НОД(45, 15) = 15. Делим: (45 ÷ 15)/(15 ÷ 15) = 3/1 = 3 (получилось целое число).
  • 3/5. НОД(3, 5) = 1 - дробь уже несократимая.
  • 0/5. Числитель равен нулю, значит и вся дробь равна 0.

Когда дробь несократимая

Дробь несократима, если наибольший общий делитель её числителя и знаменателя равен 1, то есть числа взаимно простые. Примеры несократимых дробей: 3/5, 7/9, 11/12. Если после расчёта калькулятор вернул ту же дробь, что вы ввели, значит, сократить её больше нельзя.

Сокращение неправильных и смешанных дробей

Неправильную дробь (числитель больше знаменателя) сокращают так же, как правильную, а затем при желании записывают смешанным числом. Например, 9/6 = 3/2 = 1 1/2.

Смешанное число калькулятор сначала переводит в неправильную дробь, сокращает её и снова выделяет целую часть - ответ возвращается в том же виде, в каком был задан. Для 2 4/8 это выглядит так: 2 4/8 = 20/8, НОД(20, 8) = 4, значит 20/8 = 5/2 = 2 1/2. Чтобы получить именно такой ответ, переключите режим на «Смешанная» перед вводом.

Можно ли сократить десятичную дробь

Сокращение определено только для обыкновенных дробей, у которых и числитель, и знаменатель - целые числа. У десятичной дроби числителя и знаменателя в явном виде нет, поэтому сокращать в записи 0,75 нечего. Если ввести десятичное число, калькулятор так и скажет, а не отбросит дробную часть молча.

Порядок действий такой: сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную, потом сокращаем. Знаменатель берём по числу знаков после запятой - 10, 100, 1000 и так далее:

  • 0,5 = 5/10, НОД(5, 10) = 5, значит 1/2;
  • 0,75 = 75/100, НОД(75, 100) = 25, значит 3/4;
  • 1,2 = 12/10, НОД(12, 10) = 2, значит 6/5 = 1 1/5;
  • 0,125 = 125/1000, НОД(125, 1000) = 125, значит 1/8.

Первый шаг можно не делать вручную - его выполнит калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную, а полученную дробь останется подставить сюда.

Частые ошибки при сокращении

  • Сокращают только часть суммы. В выражении вида (2 + 4)/4 нельзя «сократить» четвёрки: сокращать можно множители, а не слагаемые. Сначала считают сумму: 6/4 = 3/2.
  • Останавливаются на первом общем делителе. 24/36 после деления на 2 даёт 12/18 - дробь ещё сокращается. Деление сразу на НОД(24, 36) = 12 даёт ответ за один шаг: 2/3.
  • Делят числитель и знаменатель на разные числа. Основное свойство дроби требует одного и того же делителя для обеих частей.
  • Пишут ноль в знаменателе. Дроби с нулевым знаменателем не существует - деление на ноль не определено. А вот ноль в числителе допустим: 0/7 = 0.
  • Забывают про целую часть смешанного числа. Сокращать нужно всю дробь целиком, а не только её дробную часть: у 2 4/8 в неправильной записи числитель 20, а не 4.

Источники

Определения и правила, на которых работает калькулятор, взяты из школьного курса математики 5–6 классов:

  • Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. «Математика. 6 класс» (учебник федерального перечня) - параграфы «Основное свойство дроби» и «Сокращение дробей».
  • Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Математика. 6 класс» - тема «Сокращение дробей».
  • Признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 - справочный материал «Признаки делимости чисел».

Часто задаваемые вопросы по сокращению дробей

Что значит сократить дробь?

Сократить дробь - значит разделить её числитель и знаменатель на их общий делитель. Значение дроби при этом не меняется, а запись становится проще. Например, 4/8 = 1/2.

Как сократить дробь до конца?

Разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Полученная дробь будет несократимой - сократить её дальше уже нельзя. Калькулятор делает это за один шаг.

Что такое НОД и как его найти?

НОД - наибольшее число, на которое делятся и числитель, и знаменатель. Его находят разложением на простые множители или алгоритмом Евклида. Например, НОД(18, 24) = 6.

Какие дроби нельзя сократить?

Нельзя сократить дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно простые, то есть их НОД равен 1. Такая дробь называется несократимой - например, 3/5 или 7/9.

Можно ли сокращать неправильные и смешанные дроби?

Да. Неправильная дробь сокращается так же, как правильная. Для смешанного числа переключите режим «Смешанная»: калькулятор переведёт его в неправильную дробь, сократит и вернёт ответ снова смешанным числом.

Можно ли сократить десятичную дробь?

Напрямую нет: сокращение определено для обыкновенных дробей с целыми числителем и знаменателем. Десятичную дробь сначала переводят в обыкновенную - например, 0,75 = 75/100, - а потом сокращают: 75/100 = 3/4. Для перевода есть отдельный калькулятор.

Можно ли сократить отрицательную дробь?

Да, знак не влияет на сокращение. Нажмите кнопку +/− у дроби - калькулятор сократит её по модулю и сохранит знак в ответе.

Что будет, если числитель равен нулю?

Дробь с нулевым числителем и любым ненулевым знаменателем равна нулю: 0/5 = 0. Калькулятор так и отвечает. А вот нулевой знаменатель недопустим - на ноль делить нельзя.

Чем сокращение отличается от приведения к общему знаменателю?

При сокращении числитель и знаменатель делят на общий делитель (дробь упрощается), а при приведении к общему знаменателю их умножают на дополнительный множитель. Оба действия опираются на основное свойство дроби.

Нужно ли платить или регистрироваться?

Нет. Калькулятор сокращения дробей бесплатный и работает без регистрации на телефоне, планшете и компьютере прямо в браузере.

Другие расчёты по этой теме

Статьи по теме

Оставьте свою оценку:
★ ★ ★ ★ ★
Оценок пока нет — ваша будет первой.