01Сложить дроби значит сложить числители
У дробей с одинаковым знаменателем складывают только числители, знаменатель переписывают без изменений. У дробей с разными знаменателями сначала делают знаменатель общим.
Знаменатель показывает, на сколько частей разделили целое, числитель — сколько частей взяли. Складывать можно только одинаковые части: 1/5 + 2/5 = 3/5. Взяли одну пятую, потом ещё две, вышло три пятых — размер части не изменился, поэтому знаменатель остался прежним.
С разными знаменателями так не выходит: 1/2 и 1/4 — доли разного размера. Половину сначала переписывают четвертями, 1/2 = 2/4, и только после этого складывают: 2/4 + 1/4 = 3/4.
Свои дроби: знаменатели от 2 до 12, сумма не больше единицы
Половину и четверть нельзя сложить как есть. Половина — это две четверти, вместе с третьей выходит 3/4. Знаменатели при сложении не складывают: 2/6 — другое число, меньше половины.
Общий знаменатель — единственная сложность в сложении. Дальше по порядку: как его искать, дробь и целое число, смешанные числа, десятичные дроби.
02Решение по шагам
Разберём пример 5/6 + 3/4 — пять действий, из них два последних забывают чаще всего.
- Смотрим на знаменатели. 6 и 4 разные, значит, дроби нужно привести к общему знаменателю.5/6 + 3/4
- Ищем общий знаменатель. Наименьшее общее кратное 6 и 4 равно 12: 12 делится и на 6, и на 4.общий знаменатель 12
- Считаем дополнительные множители. 12 : 6 = 2 для первой дроби, 12 : 4 = 3 для второй. На них умножают и числитель, и знаменатель.10/12 + 9/12
- Складываем числители. 10 + 9 = 19, знаменатель 12 оставляем прежним.= 19/12
- Сокращаем и выделяем целую часть. У 19 и 12 общих делителей нет. Числитель больше знаменателя, поэтому делим 19 на 12: получается 1 и остаток 7.= 1 7/12
Проверить ответ можно обратным действием — вычитанием: 1 7/12 − 3/4 = 19/12 − 9/12 = 10/12 = 5/6. Получили первое слагаемое, значит, сложили верно.
03Тренажёр: решите сами
Пример меняется по кнопке. Решите его в тетради, впишите ответ и сверьтесь. Не сошлось — откройте решение по шагам.
Задача
Ваш ответ
Свой пример: разберём по шагам
Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Целую часть заполняют только у смешанного числа, у целого числа в знаменателе оставляют 1.
04Как найти общий знаменатель
Общий знаменатель — число, которое делится на оба знаменателя. Подходит любое такое число, но с наименьшим меньше вычислений и реже приходится сокращать ответ.
Первый способ — перемножить знаменатели. Работает всегда: произведение делится на каждый из них. Для 1/3 + 1/4 общий знаменатель 3 × 4 = 12, и это как раз наименьшее число. Но для 1/6 + 1/4 произведение даёт 24, а хватило бы 12 — ответ придётся сокращать.
Второй способ — взять больший знаменатель, если он делится на меньший. В 1/4 + 3/8 восьмёрка делится на четыре, значит, общий знаменатель 8: 1/4 = 2/8, и 2/8 + 3/8 = 5/8.
Третий способ — наименьшее общее кратное. Перебирают числа, кратные большему знаменателю, пока не найдётся то, что делится и на меньший. Для 6 и 4: 6 не делится на 4, 12 делится — это и есть НОК. Отдельная страница про НОД и НОК считает его для любых чисел.
После того как знаменатель выбран, для каждой дроби считают дополнительный множитель: общий знаменатель делят на знаменатель дроби. На этот множитель умножают и числитель, и знаменатель — значение дроби не меняется, меняется только запись.
Свои дроби: знаменатели от 2 до 12, общий знаменатель до 24
Треть и четверть переписаны двенадцатыми долями: 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12. Теперь части одного размера, их можно сложить: 4 + 3 = 7 долей из двенадцати.
Полный расчёт с дополнительными множителями показывает калькулятор дробей: он приводит дроби к общему знаменателю и складывает их за один шаг.
05Дробь и целое число
Целое число — тоже дробь, у неё знаменатель 1. Дальше всё по обычному правилу.
Сложим 2 + 3/5. Записываем двойку как 2/1, общий знаменатель 5, дополнительный множитель для первой дроби 5 : 1 = 5:
На практике целое к дроби просто приписывают слева: 2 + 3/5 = 2 3/5. Это то же самое, только короче. Ошибка начинается там, где целое приписывают к числителю и получают 23/5: это 4,6 вместо верных 2,6.
Обратный случай — когда в ответе дробная часть исчезает. 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1: числитель сравнялся со знаменателем, значит, собралось ровно одно целое.
06Смешанные числа: два способа
Смешанное число — целая часть и дробь рядом, например 2 1/3. Складывать их можно по частям или через неправильные дроби.
По частям. Отдельно складывают целые, отдельно дробные, потом соединяют. Для 2 1/3 + 1 1/2: целые дают 2 + 1 = 3, дробные — 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6. Ответ 3 5/6.
Если дробная часть в сумме перевалила за единицу, лишнее целое переносят к целой части. 1 3/4 + 2 1/2 = 3 и 3/4 + 1/2 = 5/4 = 1 1/4, значит, ответ 4 1/4.
Через неправильные дроби. Каждое смешанное число переводят в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. 2 1/3 = 7/3, 1 1/2 = 3/2. Дальше обычное сложение: 14/6 + 9/6 = 23/6 = 3 5/6. Способ длиннее, зато один и тот же для любых примеров — и для сложения, и для умножения, и для деления.
Перевод в обе стороны и действия со смешанными числами считает калькулятор дробей.
07Три дроби и больше
Правило не меняется: общий знаменатель ищут сразу для всех знаменателей, потом складывают числители.
Пример 1/2 + 1/3 + 1/4. Знаменатели 2, 3 и 4 — наименьшее общее кратное 12. Дополнительные множители: 12 : 2 = 6, 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3.
Складывать по две тоже можно — результат тот же, но общий знаменатель придётся искать дважды. Порядок слагаемых на ответ не влияет: 1/2 + 1/3 = 1/3 + 1/2.
08Ответ надо сократить
Сумма часто выходит сократимой — особенно когда общий знаменатель нашли перемножением.
Сложим 1/6 + 1/3 через произведение знаменателей: общий знаменатель 18, дополнительные множители 3 и 6.
Ответ 9/18 не ошибочный, но незаконченный: у 9 и 18 есть общий делитель 9. Возьми мы сразу наименьший общий знаменатель 6, вышло бы 1/6 + 2/6 = 3/6, и сокращать всё равно пришлось бы — до той же 1/2.
Порядок в конце такой: сначала сократить, потом выделить целую часть. Правило сокращения и поиск наибольшего общего делителя разобраны на странице сокращения дробей.
09Десятичные дроби и запятая
У десятичных дробей общий знаменатель уже есть — это разряды. Складывают их в столбик, запятая под запятой.
0,25 + 0,4 = 0,65. Чтобы не сбиться, короткое число дополняют нулём справа: 0,40. Нули в конце десятичной дроби её не меняют, зато разряды встают друг под друга — сотые под сотыми, десятые под десятыми.
Обыкновенную дробь к десятичной приводят делением числителя на знаменатель: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Обратный перевод — через разряд: 0,75 = 75/100 = 3/4. Считает его перевод десятичной дроби в обыкновенную.
Не всякая дробь переводится ровно: 1/3 = 0,333… — деление не заканчивается. Такие примеры считают в обыкновенных дробях, иначе ответ выйдет приблизительным.
10Таблица готовых сумм
Дробь из строки плюс дробь из столбца. Ответы сокращены, неправильные дроби записаны смешанным числом.
| Слагаемое | + 1/2 | + 1/3 | + 1/4 | + 2/3 | + 3/4 | + 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1/2 | 1 | 5/6 | 3/4 | 1 1/6 | 1 1/4 | 1 1/2 |
| 1/3 | 5/6 | 2/3 | 7/12 | 1 | 1 1/12 | 1 1/3 |
| 2/3 | 1 1/6 | 1 | 11/12 | 1 1/3 | 1 5/12 | 1 2/3 |
| 1/4 | 3/4 | 7/12 | 1/2 | 11/12 | 1 | 1 1/4 |
| 3/4 | 1 1/4 | 1 1/12 | 1 | 1 5/12 | 1 1/2 | 1 3/4 |
| 1/5 | 7/10 | 8/15 | 9/20 | 13/15 | 19/20 | 1 1/5 |
| 2/5 | 9/10 | 11/15 | 13/20 | 1 1/15 | 1 3/20 | 1 2/5 |
| 5/6 | 1 1/3 | 1 1/6 | 1 1/12 | 1 1/2 | 1 7/12 | 1 5/6 |
На узком экране таблица прокручивается вбок. Нужной пары нет — посчитайте в калькуляторе дробей: он покажет общий знаменатель и дополнительные множители.
откроется окно печати — там выберите «Сохранить как PDF»