Самое простое действие с дробями: числители перемножают между собой, знаменатели — между собой, общий знаменатель не нужен. Ниже — разбор по шагам, сокращение до умножения, дробь от числа, смешанные и десятичные дроби, таблица готовых ответов и шесть ошибок.
Числитель первой дроби умножают на числитель второй, знаменатель — на знаменатель. Больше в правиле ничего нет.
Общий знаменатель искать не нужно: он нужен только для сложения и вычитания. При умножении дроби берут как есть — 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10.
Множители можно менять местами: 3/4 × 2/5 и 2/5 × 3/4 дают один и тот же ответ. Этим умножение отличается от деления, где порядок менять нельзя.
Почему знаменатели перемножаются. Взяли три четверти квадрата по ширине и две пятых по высоте — общая часть занимает 6 клеток из 20, то есть 3/10.
Дробь умножают и на целое число, и на смешанное — оба случая сводятся к той же формуле, если записать число дробью. Разбор ниже: дробь на целое, смешанные числа, десятичные дроби.
Разберём пример 3/4 × 2/5 — четыре действия, последнее пропускают чаще всего.
Проверить ответ можно обратным действием — делением: 3/10 ÷ 2/5 = 3/10 × 5/2 = 15/20 = 3/4. Получили первый множитель, значит, умножили верно.
Пример меняется по кнопке. Решите его в тетради, впишите ответ и сверьтесь. Не сошлось — откройте решение по шагам.
Задача
Ваш ответ
Свой пример: разберём по шагам
Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Целую часть заполняют только у смешанного числа, у целого числа в знаменателе оставляют 1.
Считаем 5/6 × 9/10. Если умножить в лоб, придётся сокращать двузначные числа; если сократить заранее — числа останутся маленькими.
Тот же пример без сокращения: 5 × 9 = 45, 6 × 10 = 60, получается 45/60. Ответ тот же 3/4, но наибольший общий делитель 45 и 60 ещё нужно найти — это 15.
Сокращать накрест — числитель одной дроби со знаменателем другой — при умножении можно. При сложении так делать нельзя: там дроби сначала приводят к общему знаменателю. Отдельно сократить дробь можно на странице сокращения дробей.
Целое число — это дробь со знаменателем 1. Значит, 2 = 2/1, и правило остаётся прежним.
Короткий способ: числитель умножают на целое число, знаменатель оставляют без изменения — 3/4 × 2 = 3 · 2/4 = 6/4 = 11/2. Знаменатель при умножении на целое не меняется никогда.
Если целое число делится на знаменатель, сокращают сразу: 5/6 × 3 = 5 · 3/6 = 15/6 = 21/2, а быстрее — сократить тройку с шестёркой и получить 5/2.
Порядок значения не имеет: 2 × 3/4 и 3/4 × 2 — один и тот же пример с ответом 11/2.
Слово «от» в условии задачи значит «умножить». Чтобы найти дробь от числа, число умножают на эту дробь.
Двадцать клеток разделили на четыре части по пять. Три части из четырёх — это 15 клеток: столько же даёт умножение.
Так считают скидку и часть от количества. Скидка 1/3 от 1200 рублей — это 1200 × 1/3 = 400 рублей. Две пятых от 350 граммов — 350 × 2/5 = 140 граммов.
Обратная задача — «известна часть, найти целое» — решается делением. Если 3/4 составляют 15, то всё число равно 15 ÷ 3/4 = 20. Разбор этого действия — на странице деления дробей.
Проценты — те же дроби: 25% — это 1/4, 50% — 1/2, 75% — 3/4. Считать в процентах удобнее калькулятором процентов.
Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь, и дальше правило обычное.
Перевод: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. У 21/2 это 2 × 2 + 1 = 5, знаменатель прежний — 5/2. У 11/5 это 1 × 5 + 1 = 6, то есть 6/5.
По частям перемножать нельзя. Если умножить целые на целые, а дробные на дробные, выйдет 2 × 1 = 2 и 1/2 × 1/5 = 1/10, то есть 21/10 вместо тройки — ошибка почти в полтора раза.
Смешанное число на целое можно умножить и без перевода, по частям — но по частям складывая, а не перемножая: 21/2 × 4 = 2 × 4 + 1/2 × 4 = 8 + 2 = 10. Это распределительное свойство: множитель раздают и целой части, и дробной.
Умножили — а стало меньше. Это не ошибка: так и должно быть, когда умножают на дробь меньше единицы.
1/2 × 1/3 = 1/6. Взяли половину от трети — доля стала мельче обеих. С целыми числами такого не бывает, потому что там множитель всегда не меньше единицы.
Проверьте на числах: 2/3 × 6 = 4 — стало меньше шести, потому что 2/3 меньше единицы. А 3/2 × 4 = 6 — стало больше четырёх, потому что 3/2 больше единицы. Умножение на 1 оставляет число прежним: 3/4 × 1 = 3/4.
Два крайних случая. Дробь, умноженная на ноль, даёт ноль: 3/4 × 0 = 0. Дробь, умноженная на свою перевёрнутую, даёт единицу: 2/5 × 5/2 = 10/10 = 1 — такие дроби называют взаимно обратными, на них держится деление дробей.
Запятые при умножении не выравнивают. Числа перемножают как целые, а потом отсчитывают знаки справа.
Считаем 2,4 × 1,3. Убираем запятые и умножаем 24 × 13 = 312. После запятой был один знак в первом числе и один во втором, всего два — отсчитываем справа две цифры и ставим запятую: 3,12.
Если цифр не хватает, слева дописывают нули. В примере 0,03 × 0,2 перемножаем 3 × 2 = 6, знаков после запятой три, значит ответ 0,006. Лишние нули справа потом убирают: 0,5 × 0,2 = 0,10 = 0,1.
Умножение на 10, 100, 1000 сдвигает запятую вправо: 2,4 × 100 = 240. Умножение на 0,1, 0,01 и 0,001 — влево: 2,4 × 0,1 = 0,24. Проверить это легко: 0,1 — это 1/10, а умножение на 1/10 равносильно делению на 10.
Короткие десятичные дроби иногда быстрее перевести в обыкновенные: 0,75 × 0,4 = 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 = 0,3. Перевод в обе стороны — на странице десятичной дроби в обыкновенную, а большие числа удобно перемножать столбиком.
Слева первый множитель, сверху второй, на пересечении — результат в несократимом виде.
| Множитель | × 1/2 | × 1/3 | × 1/4 | × 2/3 | × 3/4 | × 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1/2 | 1/4 | 1/6 | 1/8 | 1/3 | 3/8 | 1 |
| 1/3 | 1/6 | 1/9 | 1/12 | 2/9 | 1/4 | 2/3 |
| 2/3 | 1/3 | 2/9 | 1/6 | 4/9 | 1/2 | 11/3 |
| 1/4 | 1/8 | 1/12 | 1/16 | 1/6 | 3/16 | 1/2 |
| 3/4 | 3/8 | 1/4 | 3/16 | 1/2 | 9/16 | 11/2 |
| 1/5 | 1/10 | 1/15 | 1/20 | 2/15 | 3/20 | 2/5 |
| 2/5 | 1/5 | 2/15 | 1/10 | 4/15 | 3/10 | 4/5 |
| 5/6 | 5/12 | 5/18 | 5/24 | 5/9 | 5/8 | 12/3 |
Таблица прокручивается вбок.
Во всех столбцах, кроме последнего, ответ меньше обоих множителей — множители там меньше единицы. В последнем столбце множитель 2, и ответ вдвое больше строки. Порядок значения не имеет: 2/3 × 3/4 и 3/4 × 2/3 дают одно и то же 1/2, поэтому таблица симметрична.
числитель на числительПеремножьте числители между собой и знаменатели между собой, а результат сократите: 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10. Приводить дроби к общему знаменателю не нужно.
не нуженНет. Общий знаменатель нужен только для сложения и вычитания. При умножении и делении дроби берут как есть.
числитель × числоУмножьте на это число числитель, а знаменатель оставьте прежним: 3/4 × 2 = 6/4 = 11/2. Тот же ответ даёт запись целого числа дробью: 3/4 × 2/1.
«от» значит умножитьУмножьте число на эту дробь: 3/4 от 20 — это 20 × 3/4 = 60/4 = 15. Так же считают скидку и часть от количества: 1/3 от 1200 рублей равна 400 рублям.
сначала в неправильныеПереведите оба смешанных числа в неправильные дроби и перемножьте по обычному правилу: 21/2 × 11/5 = 5/2 × 6/5 = 30/10 = 3. Отдельно перемножать целые части и отдельно дробные нельзя.
множитель меньше 1Умножение на дробь меньше единицы уменьшает число: 1/2 × 1/3 = 1/6 — половина от трети мельче обеих. Если множитель больше единицы, произведение растёт: 3/2 × 4 = 6.
можно и удобноДа, и это проще. Сокращают накрест — числитель одной дроби со знаменателем другой: 5/6 × 9/10 = 1/2 × 3/2 = 3/4. При сложении так делать нельзя.
считаем знакиПеремножьте числа без запятых, а потом отделите справа столько знаков, сколько их после запятой у обоих множителей вместе: 2,4 × 1,3 → 24 × 13 = 312 → 3,12. Если цифр не хватает, слева дописывают нули: 0,03 × 0,2 = 0,006.
запятая вправо или влевоПри умножении на 10, 100 и 1000 запятую переносят вправо на столько знаков, сколько нулей у множителя: 2,4 × 100 = 240. При умножении на 0,1, 0,01 и 0,001 — влево: 2,4 × 0,1 = 0,24.
взаимно обратныеЕдиница: 2/5 × 5/2 = 10/10 = 1. Такие дроби называют взаимно обратными, на них держится деление дробей.
Если множители большие, посчитайте пример в разделе математических калькуляторов: там дроби, проценты, степени и корни.
Открыть математические калькуляторы →Сайт и эту статью делает один человек, без редакции и без бюджета.
Если материал пригодился, проект можно поддержать переводом. Он ничего не открывает и ни к чему не обязывает: платных функций и подписок на сайте нет и не будет.