Умножение дробей

01Умножить дроби значит перемножить числители и знаменатели

Числитель первой дроби умножают на числитель второй, знаменатель — на знаменатель. Больше в правиле ничего нет.

Общий знаменатель искать не нужно: он нужен только для сложения и вычитания. При умножении дроби берут как есть — 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10.

Множители можно менять местами: 3/4 × 2/5 и 2/5 × 3/4 дают один и тот же ответ. Этим умножение отличается от деления, где порядок менять нельзя.

Дробь умножают и на целое число, и на смешанное — оба случая сводятся к той же формуле, если записать число дробью. Разбор ниже: дробь на целое, смешанные числа, десятичные дроби.

02Решение по шагам

Разберём пример 3/4 × 2/5 — четыре действия, последнее пропускают чаще всего.

1. Смешанные числа и целые переводим в дроби. Здесь обе дроби обычные, шаг пропускаем.3/4 × 2/5
2. Умножаем числители. Числитель первой дроби на числитель второй.3 × 2 = 6
3. Умножаем знаменатели. 4 × 5 = 20. Дробь готова, осталось её сократить.= 6/20
4. Сокращаем и выделяем целую часть. У 6 и 20 общий делитель 2: 6 : 2 = 3, 20 : 2 = 10. Числитель меньше знаменателя, выделять нечего.= 3/10

Проверить ответ можно обратным действием — делением: 3/10 ÷ 2/5 = 3/10 × 5/2 = 15/20 = 3/4. Получили первый множитель, значит, умножили верно.

03Тренажёр: решите сами

Пример меняется по кнопке. Решите его в тетради, впишите ответ и сверьтесь. Не сошлось — откройте решение по шагам.

Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Целую часть заполняют только у смешанного числа, у целого числа в знаменателе оставляют 1.

04Сокращать удобнее до умножения

Считаем 5/6 × 9/10. Если умножить в лоб, придётся сокращать двузначные числа; если сократить заранее — числа останутся маленькими.

1. Ищем общие делители накрест. Числитель 5 и знаменатель 10 делятся на 5, числитель 9 и знаменатель 6 делятся на 3.5/6 × 9/10
2. Сокращаем до умножения. 5 : 5 = 1 и 10 : 5 = 2; 9 : 3 = 3 и 6 : 3 = 2.1/2 × 3/2
3. Умножаем то, что осталось. 1 × 3 = 3, 2 × 2 = 4.= 3/4

Тот же пример без сокращения: 5 × 9 = 45, 6 × 10 = 60, получается 45/60. Ответ тот же 3/4, но наибольший общий делитель 45 и 60 ещё нужно найти — это 15.

Сокращать накрест — числитель одной дроби со знаменателем другой — при умножении можно. При сложении так делать нельзя: там дроби сначала приводят к общему знаменателю. Отдельно сократить дробь можно на странице сокращения дробей.

05Дробь на целое число

Целое число — это дробь со знаменателем 1. Значит, 2 = 2/1, и правило остаётся прежним.

Короткий способ: числитель умножают на целое число, знаменатель оставляют без изменения — 3/4 × 2 = 3 · 2/4 = 6/4 = 1 1/2. Знаменатель в самом действии не меняется — измениться он может только при сокращении ответа.

Если целое число делится на знаменатель, сокращают сразу: 5/6 × 3 = 5 · 3/6 = 15/6 = 2 1/2, а быстрее — сократить тройку с шестёркой и получить 5/2.

Порядок значения не имеет: 2 × 3/4 и 3/4 × 2 — один и тот же пример с ответом 1 1/2.

06Дробь от числа

Слово «от» в условии задачи значит «умножить». Чтобы найти дробь от числа, число умножают на эту дробь.

Так считают скидку и часть от количества. Скидка 1/3 от 1200 рублей — это 1200 × 1/3 = 400 рублей. Две пятых от 350 граммов — 350 × 2/5 = 140 граммов.

Обратная задача — «известна часть, найти целое» — решается делением. Если 3/4 составляют 15, то всё число равно 15 ÷ 3/4 = 20. Разбор этого действия — на странице деления дробей.

Проценты — те же дроби: 25% — это 1/4, 50% — 1/2, 75% — 3/4. Считать в процентах удобнее калькулятором процентов.

07Смешанные числа

Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь, и дальше правило обычное.

Перевод: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. У 2 1/2 это 2 × 2 + 1 = 5, знаменатель прежний — 5/2. У 1 1/5 это 1 × 5 + 1 = 6, то есть 6/5.

По частям перемножать нельзя. Если умножить целые на целые, а дробные на дробные, выйдет 2 × 1 = 2 и 1/2 × 1/5 = 1/10, то есть 2 1/10 вместо тройки — ошибка почти в полтора раза.

Смешанное число на целое можно умножить и без перевода, по частям — но по частям складывая, а не перемножая: 2 1/2 × 4 = 2 × 4 + 1/2 × 4 = 8 + 2 = 10. Это распределительное свойство: множитель раздают и целой части, и дробной.

08Почему произведение бывает меньше множителей

Умножили — а стало меньше. Это не ошибка: так и должно быть, когда умножают на дробь меньше единицы.

1/2 × 1/3 = 1/6. Взяли половину от трети — доля стала мельче обеих. С натуральными числами такого не бывает: там множитель всегда не меньше единицы.

Проверьте на числах: 2/3 × 6 = 4 — стало меньше шести, потому что 2/3 меньше единицы. А 3/2 × 4 = 6 — стало больше четырёх, потому что 3/2 больше единицы. Умножение на 1 оставляет число прежним: 3/4 × 1 = 3/4.

Два крайних случая. Дробь, умноженная на ноль, даёт ноль: 3/4 × 0 = 0. Дробь, умноженная на свою перевёрнутую, даёт единицу: 2/5 × 5/2 = 10/10 = 1 — такие дроби называют взаимно обратными, на них держится деление дробей.

09Десятичные дроби

Запятые при умножении не выравнивают. Числа перемножают как целые, а потом отсчитывают знаки справа.

Считаем 2,4 × 1,3. Убираем запятые и умножаем 24 × 13 = 312. После запятой был один знак в первом числе и один во втором, всего два — отсчитываем справа две цифры и ставим запятую: 3,12.

Если цифр не хватает, слева дописывают нули. В примере 0,03 × 0,2 перемножаем 3 × 2 = 6, знаков после запятой три, значит ответ 0,006. Лишние нули справа потом убирают: 0,5 × 0,2 = 0,10 = 0,1.

Умножение на 10, 100, 1000 сдвигает запятую вправо: 2,4 × 100 = 240. Умножение на 0,1, 0,01 и 0,001 — влево: 2,4 × 0,1 = 0,24. Проверить это легко: 0,1 — это 1/10, а умножение на 1/10 равносильно делению на 10.

Короткие десятичные дроби иногда быстрее перевести в обыкновенные: 0,75 × 0,4 = 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 = 0,3. Перевод в обе стороны — на странице десятичной дроби в обыкновенную, а большие числа удобно перемножать столбиком.

10Таблица готовых ответов

Слева первый множитель, сверху второй, на пересечении — результат в несократимом виде.

Таблица прокручивается вбок.

Сохранить таблицу в PDFоткроется окно печати — там выберите «Сохранить как PDF»

Во всех столбцах, кроме последнего, ответ меньше обоих множителей — множители там меньше единицы. В последнем столбце множитель 2, и ответ вдвое больше строки. Порядок значения не имеет: 2/3 × 3/4 и 3/4 × 2/3 дают одно и то же 1/2, поэтому в клетках, где строка и столбец меняются местами, стоит один и тот же ответ.