Вычитание дробей

01Вычесть дроби значит вычесть числители

У дробей с одинаковым знаменателем вычитают только числители, знаменатель переписывают без изменений. У дробей с разными знаменателями сначала делают знаменатель общим.

Знаменатель показывает, на сколько частей разделили целое, числитель — сколько частей взяли. Убрать можно только такие же части, какие есть: было 3/4, убрали 1/4, осталось 2/4, то есть половина. Размер части не изменился, поэтому знаменатель остался прежним.

С разными знаменателями так не выходит: 1/2 и 1/3 — доли разного размера. Обе дроби переписывают шестыми, 1/2 = 3/6 и 1/3 = 2/6, и только после этого вычитают: 3/6 − 2/6 = 1/6.

Дальше по порядку: как искать общий знаменатель, вычитание из целого числа, смешанные числа и занятая единица, когда вычитаемое больше.

02Решение по шагам

Разберём пример 5/6 − 3/4 — пять действий, из них третье забывают чаще остальных.

1. Смотрим на знаменатели. 6 и 4 разные, значит, дроби нужно привести к общему знаменателю.5/6 − 3/4
2. Ищем общий знаменатель. Наименьшее общее кратное 6 и 4 равно 12: 12 делится и на 6, и на 4.общий знаменатель 12
3. Считаем дополнительные множители. 12 : 6 = 2 для первой дроби, 12 : 4 = 3 для второй. На них умножают и числитель, и знаменатель.10/12 − 9/12
4. Вычитаем числители. 10 − 9 = 1, знаменатель 12 оставляем прежним.= 1/12
5. Сокращаем и выделяем целую часть. У 1 и 12 общих делителей нет, числитель меньше знаменателя — дробь готова.= 1/12

Проверить ответ можно обратным действием — сложением: 1/12 + 3/4 = 1/12 + 9/12 = 10/12 = 5/6. Получили уменьшаемое, значит, вычли верно.

03Тренажёр: решите сами

Пример меняется по кнопке. Решите его в тетради, впишите ответ и сверьтесь. Не сошлось — откройте решение по шагам.

Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Целую часть заполняют только у смешанного числа, у целого числа в знаменателе оставляют 1.

04Как найти общий знаменатель

Общий знаменатель — число, которое делится на оба знаменателя. Подходит любое такое число, но с наименьшим меньше вычислений и реже приходится сокращать ответ.

Первый способ — перемножить знаменатели. Работает всегда: произведение делится на каждый из них. Для 1/2 − 1/5 общий знаменатель 2 × 5 = 10, и это как раз наименьшее число: 5/10 − 2/10 = 3/10. Но для 5/6 − 1/4 произведение даёт 24, а хватило бы 12 — ответ придётся сокращать.

Второй способ — взять больший знаменатель, если он делится на меньший. В 5/8 − 1/4 восьмёрка делится на четыре, значит, общий знаменатель 8: 1/4 = 2/8, и 5/8 − 2/8 = 3/8.

Третий способ — наименьшее общее кратное. Перебирают числа, кратные большему знаменателю, пока не найдётся то, что делится и на меньший. Для 6 и 4: 6 на 4 не делится, 12 делится — это и есть НОК. Отдельная страница про НОД и НОК считает его для любых чисел.

После того как знаменатель выбран, для каждой дроби считают дополнительный множитель: общий знаменатель делят на знаменатель дроби. На этот множитель умножают и числитель, и знаменатель — значение дроби не меняется, меняется только запись. Порядок дробей при этом трогать нельзя: уменьшаемое остаётся слева, вычитаемое справа.

Полный расчёт с дополнительными множителями показывает калькулятор дробей: он приводит дроби к общему знаменателю и вычитает их за один шаг.

05Вычесть дробь из целого числа

Целое число — тоже дробь, у неё знаменатель 1. Из единицы удобно вычитать сразу: она равна дроби, у которой числитель совпадает со знаменателем.

Вычтем 1 − 3/8. Единицу записываем восьмыми долями: 1 = 8/8. Дальше обычное вычитание числителей:

Так же поступают с любым целым: 3 − 2/5 = 15/5 − 2/5 = 13/5 = 2 3/5. Короткий путь — занять у целого одну единицу и записать её дробью: 3 = 2 5/5, значит, 3 − 2/5 = 2 3/5.

Обратный случай — когда вычитают целое из смешанного числа. Тут целую часть уменьшают, а дробную не трогают: 4 3/7 − 2 = 2 3/7.

Если из целого вычитают смешанное число, единицу занимают точно так же: 3 − 1 2/5 = 2 5/5 − 1 2/5 = 1 3/5.

06Смешанные числа: занять единицу

Смешанное число — целая часть и дробь рядом, например 2 1/4. Вычитают их по частям: целые из целых, дробные из дробных. Заминка одна — когда дробной части не хватает.

Когда хватает. 5 3/4 − 2 1/4: целые дают 5 − 2 = 3, дробные — 3/4 − 1/4 = 2/4 = 1/2. Ответ 3 1/2.

Когда не хватает. В примере 2 1/4 − 3/4 вычесть 3/4 из 1/4 нельзя. Тогда у целой части занимают единицу и переводят её в четверти: 1 = 4/4, а 2 1/4 превращается в 1 и 5/4. Теперь вычитаемое меньше: 5/4 − 3/4 = 2/4 = 1/2. Ответ 1 1/2.

Через неправильные дроби. Каждое смешанное число переводят в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. 5 1/4 = 21/4, 2 3/4 = 11/4. Дальше обычное вычитание: 21/4 − 11/4 = 10/4 = 5/2 = 2 1/2. Способ длиннее, зато занимать единицу не нужно — и работает он одинаково для вычитания, умножения и деления.

Перевод в обе стороны и действия со смешанными числами считает калькулятор дробей.

07Когда вычитаемое больше

Разность выходит отрицательной. Порядок дробей менять нельзя — вместо этого считают наоборот и ставят перед ответом минус.

В примере 1/3 − 1/2 общий знаменатель 6: 2/6 − 3/6. Двух шестых не хватает, чтобы убрать три. Считают разность в обратную сторону, 3/6 − 2/6 = 1/6, и записывают ответ с минусом:

Сравнить дроби до счёта помогает тот же общий знаменатель: у 2/6 и 3/6 числители видно сразу. Второй способ — привести к десятичным: 1/3 ≈ 0,33 меньше 0,5.

В 5 классе отрицательный ответ ещё не проходят, поэтому в учебниках примеры подобраны так, чтобы уменьшаемое было больше. Если минус получился там, где его не ждали, дроби скорее всего переставлены местами: 3/4 − 1/2 и 1/2 − 3/4 — разные примеры с разными ответами.

08Ответ надо сократить

Разность часто выходит сократимой — особенно когда общий знаменатель нашли перемножением.

Вычтем 5/6 − 1/3 через произведение знаменателей: общий знаменатель 18, дополнительные множители 3 и 6.

Ответ 9/18 не ошибочный, но незаконченный: у 9 и 18 есть общий делитель 9. Возьми мы сразу наименьший общий знаменатель 6, вышло бы 5/6 − 2/6 = 3/6, и сокращать всё равно пришлось бы — до той же 1/2.

Порядок в конце такой: сначала сократить, потом выделить целую часть. Правило сокращения и поиск наибольшего общего делителя разобраны на странице сокращения дробей.

09Десятичные дроби и запятая

У десятичных дробей общий знаменатель уже есть — это разряды. Вычитают их в столбик, запятая под запятой.

0,4 − 0,25 = 0,15. Чтобы не сбиться, короткое число дополняют нулём справа: 0,40. Нули в конце десятичной дроби её не меняют, зато разряды встают друг под друга — сотые под сотыми, десятые под десятыми.

Из целого вычитают так же: 1 − 0,35 записывают как 1,00 − 0,35 и занимают у единицы, получается 0,65.

Обыкновенную дробь к десятичной приводят делением числителя на знаменатель: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Обратный перевод — через разряд: 0,75 = 75/100 = 3/4. Считает его перевод десятичной дроби в обыкновенную.

Не всякая дробь переводится ровно: 1/3 = 0,333… — деление не заканчивается. Такие примеры считают в обыкновенных дробях, иначе ответ выйдет приблизительным.

10Таблица готовых разностей

Из дроби в строке вычитаем дробь из столбца. Ответы сокращены, неправильные дроби записаны смешанным числом.

На узком экране таблица прокручивается вбок. Нужной пары нет — посчитайте в калькуляторе дробей: он покажет общий знаменатель и дополнительные множители.

Сохранить таблицу в PDFоткроется окно печати — там выберите «Сохранить как PDF»