Вычитают числители, знаменатель оставляют общим. Сложности начинаются в двух местах: когда знаменатели разные и когда у смешанного числа дробной части не хватает и приходится занимать единицу. Ниже разбор по шагам, вычитание из целого, отрицательный ответ, таблица готовых разностей и шесть ошибок.
У дробей с одинаковым знаменателем вычитают только числители, знаменатель переписывают без изменений. У дробей с разными знаменателями сначала делают знаменатель общим.
Знаменатель показывает, на сколько частей разделили целое, числитель — сколько частей взяли. Убрать можно только такие же части, какие есть: было 3/4, убрали 1/4, осталось 2/4, то есть половина. Размер части не изменился, поэтому знаменатель остался прежним.
С разными знаменателями так не выходит: 1/2 и 1/3 — доли разного размера. Обе дроби переписывают шестыми, 1/2 = 3/6 и 1/3 = 2/6, и только после этого вычитают: 3/6 − 2/6 = 1/6.
Из трёх четвертей убрали одну — осталось 2/4, а это та же половина. Знаменатель при вычитании не меняется: четвертей было четыре, столько же и осталось.
Дальше по порядку: как искать общий знаменатель, вычитание из целого числа, смешанные числа и занятая единица, когда вычитаемое больше.
Разберём пример 5/6 − 3/4 — пять действий, из них третье забывают чаще остальных.
Проверить ответ можно обратным действием — сложением: 1/12 + 3/4 = 1/12 + 9/12 = 10/12 = 5/6. Получили уменьшаемое, значит, вычли верно.
Пример меняется по кнопке. Решите его в тетради, впишите ответ и сверьтесь. Не сошлось — откройте решение по шагам.
Задача
Ваш ответ
Свой пример: разберём по шагам
Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Целую часть заполняют только у смешанного числа, у целого числа в знаменателе оставляют 1.
Общий знаменатель — число, которое делится на оба знаменателя. Подходит любое такое число, но с наименьшим меньше вычислений и реже приходится сокращать ответ.
Первый способ — перемножить знаменатели. Работает всегда: произведение делится на каждый из них. Для 1/2 − 1/5 общий знаменатель 2 × 5 = 10, и это как раз наименьшее число: 5/10 − 2/10 = 3/10. Но для 5/6 − 1/4 произведение даёт 24, а хватило бы 12 — ответ придётся сокращать.
Второй способ — взять больший знаменатель, если меньший на него делится. В 5/8 − 1/4 восьмёрка делится на четыре, значит, общий знаменатель 8: 1/4 = 2/8, и 5/8 − 2/8 = 3/8.
Третий способ — наименьшее общее кратное. Перебирают числа, кратные большему знаменателю, пока не найдётся то, что делится и на меньший. Для 6 и 4: 6 на 4 не делится, 12 делится — это и есть НОК. Отдельная страница про НОД и НОК считает его для любых чисел.
После того как знаменатель выбран, для каждой дроби считают дополнительный множитель: общий знаменатель делят на знаменатель дроби. На этот множитель умножают и числитель, и знаменатель — значение дроби не меняется, меняется только запись. Порядок дробей при этом трогать нельзя: уменьшаемое остаётся слева, вычитаемое справа.
Полный расчёт с дополнительными множителями показывает калькулятор дробей: он приводит дроби к общему знаменателю и вычитает их за один шаг.
Целое число — тоже дробь, у неё знаменатель 1. Из единицы удобно вычитать сразу: она равна дроби, у которой числитель совпадает со знаменателем.
Вычтем 1 − 3/8. Единицу записываем восьмыми долями: 1 = 8/8. Дальше обычное вычитание числителей:
Так же поступают с любым целым: 3 − 2/5 = 15/5 − 2/5 = 13/5 = 23/5. Короткий путь — занять у целого одну единицу и записать её дробью: 3 = 25/5, значит, 3 − 2/5 = 23/5.
Обратный случай — когда вычитают целое из смешанного числа. Тут целую часть уменьшают, а дробную не трогают: 43/7 − 2 = 23/7.
Если из целого вычитают смешанное число, единицу занимают точно так же: 3 − 12/5 = 25/5 − 12/5 = 13/5.
Смешанное число — целая часть и дробь рядом, например 21/4. Вычитают их по частям: целые из целых, дробные из дробных. Заминка одна — когда дробной части не хватает.
Когда хватает. 53/4 − 21/4: целые дают 5 − 2 = 3, дробные — 3/4 − 1/4 = 2/4 = 1/2. Ответ 31/2.
Когда не хватает. В примере 21/4 − 3/4 вычесть 3/4 из 1/4 нельзя. Тогда у целой части занимают единицу и переводят её в четверти: 1 = 4/4, а 21/4 превращается в 1 и 5/4. Теперь вычитаемое меньше: 5/4 − 3/4 = 2/4 = 1/2. Ответ 11/2.
Одно целое разбито на четыре доли: 21/4 — это 1 и 5/4. Три четверти уходят при вычитании, остаётся 11/2.
Через неправильные дроби. Каждое смешанное число переводят в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. 51/4 = 21/4, 23/4 = 11/4. Дальше обычное вычитание: 21/4 − 11/4 = 10/4 = 5/2 = 21/2. Способ длиннее, зато занимать единицу не нужно — и работает он одинаково для вычитания, умножения и деления.
Перевод в обе стороны и действия со смешанными числами считает калькулятор дробей.
Разность выходит отрицательной. Порядок дробей менять нельзя — вместо этого считают наоборот и ставят перед ответом минус.
В примере 1/3 − 1/2 общий знаменатель 6: 2/6 − 3/6. Двух шестых не хватает, чтобы убрать три. Считают разность в обратную сторону, 3/6 − 2/6 = 1/6, и записывают ответ с минусом:
Сравнить дроби до счёта помогает тот же общий знаменатель: у 2/6 и 3/6 числители видно сразу. Второй способ — привести к десятичным: 1/3 ≈ 0,33 меньше 0,5.
В 5 и 6 классе отрицательный ответ ещё не проходят, поэтому в учебниках примеры подобраны так, чтобы уменьшаемое было больше. Если минус получился там, где его не ждали, дроби скорее всего переставлены местами: 3/4 − 1/2 и 1/2 − 3/4 — разные примеры с разными ответами.
Разность часто выходит сократимой — особенно когда общий знаменатель нашли перемножением.
Вычтем 5/6 − 1/3 через произведение знаменателей: общий знаменатель 18, дополнительные множители 3 и 6.
Ответ 9/18 не ошибочный, но незаконченный: у 9 и 18 есть общий делитель 9. Возьми мы сразу наименьший общий знаменатель 6, вышло бы 5/6 − 2/6 = 3/6, и сокращать всё равно пришлось бы — до той же 1/2.
Порядок в конце такой: сначала сократить, потом выделить целую часть. Правило сокращения и поиск наибольшего общего делителя разобраны на странице сокращения дробей.
У десятичных дробей общий знаменатель уже есть — это разряды. Вычитают их в столбик, запятая под запятой.
0,4 − 0,25 = 0,15. Чтобы не сбиться, короткое число дополняют нулём справа: 0,40. Нули в конце десятичной дроби её не меняют, зато разряды встают друг под друга — сотые под сотыми, десятые под десятыми.
Из целого вычитают так же: 1 − 0,35 записывают как 1,00 − 0,35 и занимают у единицы, получается 0,65.
Обыкновенную дробь к десятичной приводят делением числителя на знаменатель: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Обратный перевод — через разряд: 0,75 = 75/100 = 3/4. Считает его перевод десятичной дроби в обыкновенную.
Не всякая дробь переводится ровно: 1/3 = 0,333… — деление не заканчивается. Такие примеры считают в обыкновенных дробях, иначе ответ выйдет приблизительным.
Из дроби в строке вычитаем дробь из столбца. Ответы сокращены, неправильные дроби записаны смешанным числом.
| Уменьшаемое | − 1/6 | − 1/4 | − 1/3 | − 1/2 | − 2/3 | − 3/4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3/4 | 7/12 | 1/2 | 5/12 | 1/4 | 1/12 | 0 |
| 5/6 | 2/3 | 7/12 | 1/2 | 1/3 | 1/6 | 1/12 |
| 1 | 5/6 | 3/4 | 2/3 | 1/2 | 1/3 | 1/4 |
| 11/4 | 11/12 | 1 | 11/12 | 3/4 | 7/12 | 1/2 |
| 11/2 | 11/3 | 11/4 | 11/6 | 1 | 5/6 | 3/4 |
| 12/3 | 11/2 | 15/12 | 11/3 | 11/6 | 1 | 11/12 |
| 13/4 | 17/12 | 11/2 | 15/12 | 11/4 | 11/12 | 1 |
| 2 | 15/6 | 13/4 | 12/3 | 11/2 | 11/3 | 11/4 |
На узком экране таблица прокручивается вбок. Нужной пары нет — посчитайте в калькуляторе дробей: он покажет общий знаменатель и дополнительные множители.
вычитаем числителиВычтите числители, а знаменатель оставьте прежним: 5/8 − 1/8 = 4/8 = 1/2. Знаменатель показывает размер части и при вычитании не меняется.
через общий знаменательПриведите дроби к общему знаменателю, а потом вычтите числители: 1/2 − 1/3 = 3/6 − 2/6 = 1/6. Без общего знаменателя вычитать нельзя — доли разного размера.
НОК знаменателейПроще всего перемножить знаменатели — произведение подходит всегда. Если один знаменатель делится на другой, берут больший: для 5/8 и 1/4 это 8. Наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное: для 6 и 4 оно равно 12.
единицу пишем дробьюЗаймите у целого одну единицу и запишите её дробью с нужным знаменателем: 1 − 3/8 = 8/8 − 3/8 = 5/8, а 3 − 2/5 = 25/5 − 2/5 = 23/5.
занять единицуЗанять единицу у целой части и перевести её в доли. В примере 51/4 − 23/4 уменьшаемое переписывают как 45/4, и дальше вычитают обычным порядком: 4 − 2 = 2, 5/4 − 3/4 = 2/4 = 1/2. Ответ 21/2.
по частям или через неправильныеПервый способ — по частям: целые из целых, дробные из дробных, при нехватке дробной части занимают единицу. Второй — перевести оба числа в неправильные дроби: 51/4 = 21/4, 23/4 = 11/4, разность 10/4 = 21/2. Занимать единицу во втором способе не нужно.
нет, порядок важенНет. 3/4 − 1/2 = 1/4, а 1/2 − 3/4 = −1/4 — это разные ответы. Переставлять свободно можно только слагаемые при сложении.
ответ с минусомПосчитайте разность в обратную сторону и поставьте перед ответом минус: 1/3 − 1/2 = −(1/2 − 1/3) = −1/6. Сравнить дроби заранее помогает общий знаменатель: 2/6 меньше 3/6.
запятая под запятойВычитайте в столбик, запятая под запятой: 0,4 − 0,25 = 0,15. Если знаков после запятой разное число, короткое дополните нулями справа — 0,40 и 0,25, — от этого дробь не меняется.
обратным сложениемПрибавьте к разности вычитаемое — должно получиться уменьшаемое. Для 5/6 − 3/4 = 1/12 проверка такая: 1/12 + 9/12 = 10/12 = 5/6. Сошлось, значит, разность верна.
Если знаменатели большие или нужно занять единицу, посчитайте пример в калькуляторе дробей: он приводит дроби к общему знаменателю и сразу сокращает разность.
Открыть калькулятор дробей →Сайт и эту статью делает один человек, без редакции и без бюджета.
Если материал пригодился, проект можно поддержать переводом. Он ничего не открывает и ни к чему не обязывает: платных функций и подписок на сайте нет и не будет.