Возведение дроби в степень

Как пользоваться калькулятором возведения дроби в степень

Возведение дроби в степень — это короткое умножение дроби саму на себя нужное число раз. Наш калькулятор делает это мгновенно и сразу показывает пошаговое решение, чтобы было понятно, как возвести дробь в степень вручную. Достаточно ввести дробь и показатель степени — ответ появится автоматически.

• Числитель и знаменатель — введите верхнее и нижнее число дроби (например, 2 и 3 для дроби 2/3).
• Целая часть — заполните это поле, если возводите в степень смешанное число (например, 1½). Ответ на смешанное число калькулятор тоже вернёт смешанным.
• Показатель степени — число, в которое возводится дробь: натуральное (2, 3, 4...), нулевое, отрицательное, а также дробное — его можно записать и десятичным (0,5), и дробью (1/2). Дробный показатель — это корень, и если он извлекается нацело, ответ будет точной дробью: (4/9)^1/2 = 2/3.
• Режим «Обыкновенные» или «Десятичные» — выберите вид дроби: обыкновенную (2/3) или десятичную (0,5). Десятичная переводится в обыкновенную, поэтому степень считается точно, без накопления погрешности.
• Кнопка «+/−» — задаёт знак «минус» для отрицательного основания. Минус, набранный прямо в поле, тоже учитывается.
• Результат и решение — ответ в виде дроби (а при необходимости и десятичного числа) и пошаговый разбор появляются сразу под кнопкой. Ответ пересчитывается и по ходу набора, а Enter запускает расчёт.
• «Копировать» и «Ссылка на расчёт» — кладут в буфер обмена готовый ответ или адрес страницы с уже подставленными числами. Последние расчёты остаются в блоке «История расчётов» и возвращаются в поля по клику.

Если ответ нужно упростить, поможет сокращение дробей, а проверить вычисления с дробями удобно через калькулятор дробей.

Формула и правило возведения дроби в степень

Главное правило называется степенью частного: чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель по отдельности. Формула возведения дроби в степень записывается так:

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

Здесь дробь a/b — это основание степени, а число n — показатель степени. Словами: верхнее число умножаем само на себя n раз и нижнее число умножаем само на себя n раз. Алгоритм возведения дроби в степень состоит из трёх шагов:

• Шаг 1. Если дано смешанное число, переведите его в неправильную дробь (целую часть умножьте на знаменатель и прибавьте числитель).
• Шаг 2. Возведите числитель и знаменатель в степень n по отдельности.
• Шаг 3. Сократите дробь или выделите целую часть, если это нужно для ответа.

Разберём на простом примере. Возьмём дробь 2/3 во второй степени:

(2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Числитель 2 в квадрате даёт 4, знаменатель 3 в квадрате даёт 9. Ответ — дробь 4/9, или примерно 0,444. Так же работает и натуральная степень побольше: (3/4)³ = 3³/4³ = 27/64.

Дробь в нулевой и первой степени

Два показателя степени запоминаются особенно легко. Любая дробь (кроме нуля) в нулевой степени равна 1, а в первой степени равна сама себе.

• (3/4)⁰ = 1 — возведение дроби в нулевую степень всегда даёт единицу.
• (2/5)¹ = 2/5 — дробь в первой степени не меняется.

Почему дробь в нулевой степени равна 1? Если делить степень на такую же степень, показатели вычитаются: например, (3/4)² : (3/4)² = (3/4)⁰. Но любое число, делённое само на себя, даёт 1. Значит, (3/4)⁰ = 1. Единственное исключение — ноль: нулевая степень нуля не определена.

Возведение дроби в отрицательную степень

Возведение дроби в отрицательную степень делается через обратную дробь. Правило: дробь нужно перевернуть (взять обратную) и возвести в положительную степень. Формула:

(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ при a ≠ 0 и b ≠ 0

Обратная дробь — это та же дробь, у которой числитель и знаменатель поменялись местами. Дроби a/b и b/a называют взаимно обратными числами, потому что их произведение равно 1. Разберём пример возведения дроби в отрицательную степень:

(2/3)⁻² = (3/2)² = 3²/2² = 9/4 = 2¼.

Сначала перевернули дробь 2/3 в обратную 3/2, затем возвели её во вторую степень и получили 9/4. Эту неправильную дробь можно записать смешанным числом 2¼ (целых 2 и одна четвёртая). Ещё пример: (5/4)⁻¹ = (4/5)¹ = 4/5.

Возведение смешанного числа в степень

Смешанное число — это дробь с целой частью, например 1½. Чтобы возвести смешанное число в степень, его сначала переводят в неправильную дробь, а уже потом возводят в степень по знакомому правилу степени частного.

Переведём 1½ в неправильную дробь: целую часть 1 умножаем на знаменатель 2, прибавляем числитель 1, получаем 3. Знаменатель остаётся прежним — выходит 3/2. Теперь возводим:

(1½)² = (3/2)² = 3²/2² = 9/4 = 2¼.

В ответе неправильную дробь 9/4 удобно снова выделить в смешанное число 2¼. Сравнить два таких числа поможет сравнение дробей.

Возведение десятичной дроби в степень

Возведение десятичной дроби в степень делают двумя способами. Первый — просто умножить число само на себя нужное число раз. Второй — перевести десятичную дробь в обыкновенную и возвести её по правилу степени частного. Результат одинаковый, выбирайте, что удобнее.

• (0,5)² = 0,5 · 0,5 = 0,25. То же через обыкновенную дробь: (1/2)² = 1/4 = 0,25.
• (0,2)³ = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008. Через дробь: (2/10)³ = (1/5)³ = 1/125 = 0,008.

Совет: считая «в столбик», следите за количеством знаков после запятой. При возведении в степень число знаков после запятой умножается на показатель: в квадрате их вдвое больше, в кубе втрое, поэтому 0,5² = 0,25 (два знака), а 0,2³ = 0,008 (три знака).

Отрицательная дробь в степени: знак результата

Если основание степени отрицательное, а показатель целый, знак ответа зависит только от показателя степени. Правило простое: чётная степень даёт плюс, нечётная — минус. Это потому, что минус на минус даёт плюс, и при чётном числе множителей все минусы взаимно уничтожаются.

• (−1/2)² = (−1/2) · (−1/2) = 1/4 — степень 2 чётная, поэтому результат положительный.
• (−2/3)³ = (−2)³/3³ = −8/27 — степень 3 нечётная, поэтому результат отрицательный.

Запомните порядок: сначала определите знак по чётности показателя, а потом считайте модуль дроби по обычному правилу степени частного.

Таблица примеров возведения дробей в степень

В таблице собраны разобранные случаи: натуральная, нулевая, первая и отрицательная степень, смешанное число, десятичная и отрицательная дробь. Используйте её как шпаргалку по теме «дробь в степени».

Проверяйте любое выражение в калькуляторе выше: он повторит эти шаги и подскажет, как сократить дробь или выделить целую часть в ответе.