Возведение дроби в степень
Как пользоваться калькулятором возведения дроби в степень
Возведение дроби в степень - это короткое умножение дроби саму на себя нужное число раз. Наш калькулятор делает это мгновенно и сразу показывает пошаговое решение, чтобы было понятно, как возвести дробь в степень вручную. Достаточно ввести дробь и показатель степени - ответ появится автоматически.
- Числитель и знаменатель - введите верхнее и нижнее число дроби (например, 2 и 3 для дроби 2/3).
- Целая часть - заполните это поле, если возводите в степень смешанное число (например, 1½). Ответ на смешанное число калькулятор тоже вернёт смешанным.
- Показатель степени - число, в которое возводится дробь: натуральное (2, 3, 4...), нулевое, отрицательное, а также дробное - его можно записать и десятичным (0,5), и дробью (1/2). Дробный показатель - это корень, и если он извлекается нацело, ответ будет точной дробью: (4/9)1/2 = 2/3.
- Режим «Обыкновенные» или «Десятичные» - выберите вид дроби: обыкновенную (2/3) или десятичную (0,5). Десятичная переводится в обыкновенную, поэтому степень считается точно, без накопления погрешности.
- Кнопка «+/−» - задаёт знак «минус» для отрицательного основания. Минус, набранный прямо в поле, тоже учитывается.
- Результат и решение - ответ в виде дроби (а при необходимости и десятичного числа) и пошаговый разбор появляются сразу под кнопкой. Ответ пересчитывается и по ходу набора, а Enter запускает расчёт.
- «Копировать» и «Ссылка на расчёт» - кладут в буфер обмена готовый ответ или адрес страницы с уже подставленными числами. Последние расчёты остаются в блоке «История расчётов» и возвращаются в поля по клику.
Если ответ нужно упростить, поможет сокращение дробей, а проверить вычисления с дробями удобно через калькулятор дробей.
Формула и правило возведения дроби в степень
Главное правило называется степенью частного: чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель по отдельности. Формула возведения дроби в степень записывается так:
(a/b)n = an/bn
Здесь дробь a/b - это основание степени, а число n - показатель степени. Словами: верхнее число умножаем само на себя n раз и нижнее число умножаем само на себя n раз. Алгоритм возведения дроби в степень состоит из трёх шагов:
- Шаг 1. Если дано смешанное число, переведите его в неправильную дробь (целую часть умножьте на знаменатель и прибавьте числитель).
- Шаг 2. Возведите числитель и знаменатель в степень n по отдельности.
- Шаг 3. Сократите дробь или выделите целую часть, если это нужно для ответа.
Разберём на простом примере. Возьмём дробь 2/3 во второй степени:
(2/3)² = 2²/3² = 4/9.
Числитель 2 в квадрате даёт 4, знаменатель 3 в квадрате даёт 9. Ответ - дробь 4/9, или примерно 0,444. Так же работает и натуральная степень побольше: (3/4)³ = 3³/4³ = 27/64.
Дробь в нулевой и первой степени
Два показателя степени запоминаются особенно легко. Любая дробь (кроме нуля) в нулевой степени равна 1, а в первой степени равна сама себе.
- (3/4)⁰ = 1 - возведение дроби в нулевую степень всегда даёт единицу.
- (2/5)¹ = 2/5 - дробь в первой степени не меняется.
Почему дробь в нулевой степени равна 1? Если делить степень на такую же степень, показатели вычитаются: например, (3/4)² : (3/4)² = (3/4)⁰. Но любое число, делённое само на себя, даёт 1. Значит, (3/4)⁰ = 1. Единственное исключение - ноль: нулевая степень нуля не определена.
Возведение дроби в отрицательную степень
Возведение дроби в отрицательную степень делается через обратную дробь. Правило: дробь нужно перевернуть (взять обратную) и возвести в положительную степень. Формула:
(a/b)−n = (b/a)n
Обратная дробь - это та же дробь, у которой числитель и знаменатель поменялись местами. Дроби a/b и b/a называют взаимно обратными числами, потому что их произведение равно 1. Разберём пример возведения дроби в отрицательную степень:
(2/3)⁻² = (3/2)² = 3²/2² = 9/4 = 2¼.
Сначала перевернули дробь 2/3 в обратную 3/2, затем возвели её во вторую степень и получили 9/4. Эту неправильную дробь можно записать смешанным числом 2¼ (целых 2 и одна четвёртая). Ещё пример: (5/4)⁻¹ = (4/5)¹ = 4/5.
Возведение смешанного числа в степень
Смешанное число - это дробь с целой частью, например 1½. Чтобы возвести смешанное число в степень, его сначала переводят в неправильную дробь, а уже потом возводят в степень по знакомому правилу степени частного.
Переведём 1½ в неправильную дробь: целую часть 1 умножаем на знаменатель 2, прибавляем числитель 1, получаем 3. Знаменатель остаётся прежним - выходит 3/2. Теперь возводим:
(1½)² = (3/2)² = 3²/2² = 9/4 = 2¼.
В ответе неправильную дробь 9/4 удобно снова выделить в смешанное число 2¼. Сравнить два таких числа поможет сравнение дробей.
Возведение десятичной дроби в степень
Возведение десятичной дроби в степень делают двумя способами. Первый - просто умножить число само на себя нужное число раз. Второй - перевести десятичную дробь в обыкновенную и возвести её по правилу степени частного. Результат одинаковый, выбирайте, что удобнее.
- (0,5)² = 0,5 · 0,5 = 0,25. То же через обыкновенную дробь: (1/2)² = 1/4 = 0,25.
- (0,2)³ = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008. Через дробь: (2/10)³ = (1/5)³ = 1/125 = 0,008.
Совет: считая «в столбик», следите за количеством знаков после запятой. При возведении в квадрат знаков после запятой становится вдвое больше, поэтому 0,5² = 0,25 (два знака), а 0,2³ = 0,008 (три знака).
Отрицательная дробь в степени: знак результата
Если основание степени отрицательное, знак ответа зависит только от показателя степени. Правило простое: чётная степень даёт плюс, нечётная - минус. Это потому, что минус на минус даёт плюс, и при чётном числе множителей все минусы взаимно уничтожаются.
- (−1/2)² = (−1/2) · (−1/2) = 1/4 - степень 2 чётная, поэтому результат положительный.
- (−2/3)³ = (−2)³/3³ = −8/27 - степень 3 нечётная, поэтому результат отрицательный.
Запомните порядок: сначала определите знак по чётности показателя, а потом считайте модуль дроби по обычному правилу степени частного.
Таблица примеров возведения дробей в степень
В таблице собраны разобранные случаи: натуральная, нулевая, первая и отрицательная степень, смешанное число, десятичная и отрицательная дробь. Используйте её как шпаргалку по теме «дробь в степени».
| Выражение | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| (2/3)² | 2²/3² = 4/9 | 4/9 = 0,444... |
| (3/4)³ | 3³/4³ = 27/64 | 27/64 = 0,421875 |
| (1/2)³ | 1³/2³ = 1/8 | 1/8 = 0,125 |
| (2/5)¹ | 2/5 (первая степень) | 2/5 = 0,4 |
| (3/4)⁰ | нулевая степень = 1 | 1 |
| (2/3)⁻² | (3/2)² = 9/4 | 9/4 = 2¼ |
| (−1/2)² | (−1)²/2² = 1/4 | 1/4 = 0,25 |
| (−2/3)³ | (−2)³/3³ = −8/27 | −8/27 = −0,296... |
| (1½)² | (3/2)² = 9/4 | 9/4 = 2¼ |
| (0,5)² | (1/2)² = 1/4 | 0,25 = 1/4 |
| (5/4)⁻¹ | (4/5)¹ = 4/5 | 4/5 = 0,8 |
Проверяйте любое выражение в калькуляторе выше: он повторит эти шаги и подскажет, как сократить дробь или выделить целую часть в ответе.
Часто задаваемые вопросы о возведении дроби в степень
Нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель по отдельности - это правило степени частного: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Например, (2/3)² = 2²/3² = 4/9.
Переверните дробь (возьмите обратную) и возведите её в положительную степень: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Например, (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4 = 2¼.
Любая дробь (кроме нуля) в нулевой степени равна 1. Например, (3/4)⁰ = 1 и (2/5)⁰ = 1. Это следует из деления равных степеней друг на друга.
Сначала переведите смешанное число в неправильную дробь, потом возведите её в степень. Например, (1½)² = (3/2)² = 9/4 = 2¼.
Можно умножить число само на себя нужное количество раз или перевести его в обыкновенную дробь. Например, (0,5)² = 0,25 = 1/4, а (0,2)³ = 0,008.
При чётной степени результат становится положительным, при нечётной - остаётся отрицательным. Например, (−1/2)² = 1/4 (плюс), а (−2/3)³ = −8/27 (минус).
Формула степени частного: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, где a/b - основание, а n - показатель степени. Возводятся отдельно числитель и отдельно знаменатель.
Другие расчёты по этой теме
- Калькулятор степеней - возведение в степень целых чисел, с точным ответом и корнями.
- Сокращение дробей - привести результат к несократимому виду.
- Калькулятор дробей - сложение, вычитание, умножение и деление дробей.
- Сравнение дробей - какая из двух дробей больше.
- Перевод десятичной дроби в обыкновенную - записать 0,75 как 3/4.
- НОД и НОК - наибольший общий делитель для сокращения.
Статьи по теме
- Как решать дроби - разбор действий с дробями за 5–6 класс
Поделиться страницей
Комментарии