Шестой класс — второй заход по дробям: сокращение через наибольший общий делитель, общий знаменатель через наименьшее общее кратное, все четыре действия, отношения и пропорции, проценты, отрицательные числа. Ниже восемь тем с решением по шагам, тренажёр на пять уровней, пять задач и разбор ошибок, из-за которых ответ не сходится.
Дроби уже знакомы с пятого класса: доли, запись, сравнение, сложение и вычитание. В шестом к ним подводят делимость, а рядом встают отношения, проценты и отрицательные числа.
Делимость. Делители и кратные, признаки делимости, разложение на простые множители, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, деление с остатком. Тема нужна не сама по себе: НОД сокращает дробь за один шаг, НОК даёт общий знаменатель. В федеральной рабочей программе раздел «Натуральные числа» занимает 30 часов.
Дроби. Основное свойство и сокращение, сравнение и упорядочивание, четыре действия, задачи на часть от целого и целое по его части, выражения, где обыкновенная дробь стоит рядом с десятичной. Раздел «Дроби» — 32 часа, и в него же входят отношения, деление в данном отношении, масштаб, пропорция и проценты.
Отрицательные числа. Целые числа, модуль, координатная прямая, сравнение и четыре действия с положительными и отрицательными числами, координатная плоскость с абсциссой и ординатой. Самый большой раздел года — 40 часов.
Дальше по странице: сокращение через НОД, общий знаменатель и сравнение, сложение и вычитание, умножение и деление, часть и целое, отношения и пропорции, проценты, отрицательные числа. Любой свой пример считает калькулятор дробей — он показывает ход решения, а не только ответ.
Основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля, — значение дроби не изменится. Деление на общий делитель и называется сокращением.
Верхняя полоса разделена на исходное число долей, нижняя — на укрупнённые. Закрашенная часть одна и та же: сокращение меняет запись, а не величину.
Как найти НОД. Раскладывают оба числа на простые множители и перемножают общие. Разложение удобно вести делением на 2, 3, 5, 7 — по признакам делимости видно, с чего начать.
Признаки делимости. На 2 делится число с чётной последней цифрой, на 5 — с последней 0 или 5, на 10 — с последним нулём. На 3 и на 9 смотрят по сумме цифр: у 936 сумма 18, значит, число делится и на 3, и на 9. На 4 — если последние две цифры дают число, кратное четырём.
Несократимая дробь. Так называют дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно простые — их НОД равен единице: 5/8, 7/9, 13/20. В ответе дробь доводят до несократимого вида — иначе решение считают незаконченным.
Свою дробь сократит калькулятор сокращения дробей, а НОД и НОК для любых чисел покажет отдельный калькулятор.
Общий знаменатель — это число, которое делится на оба знаменателя. Наименьшее такое число называют наименьшим общим кратным: с ним числа в примере не разрастаются.
Когда НОК искать не нужно. Если больший знаменатель делится на меньший, он и будет общим: для 4 и 12 это 12. Если знаменатели взаимно простые, общий знаменатель — их произведение: для 5 и 7 это 35.
Упорядочить несколько дробей. Все дроби приводят к одному знаменателю и выстраивают по числителям. Иногда быстрее прикинуть: 4/9 меньше половины, 5/8 больше, значит, 4/9 меньше 5/8 — и общий знаменатель не понадобился.
Пару дробей с большими знаменателями сравнит калькулятор сравнения дробей.
Уровни идут по темам года: сокращение, сложение и вычитание, умножение и деление, проценты, сравнение с отрицательными числами. Пример меняется по кнопке, ответ проверяет браузер.
Сократите дробь
Ваш ответ
Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Дробь вписывают в два поля — числитель и знаменатель; целую часть заполняют только тогда, когда ответ получился смешанным числом.
Порядок один и тот же: приводим к общему знаменателю, складываем или вычитаем числители, знаменатель переписываем, ответ сокращаем и при неправильной дроби выделяем целую часть.
Смешанные числа. Целые части складывают отдельно, дробные — отдельно: 21/4 + 12/3 = 3 + 3/12 + 8/12 = 3 + 11/12 = 311/12. Если дробная часть вышла неправильной, из неё выделяют единицу и добавляют к целой.
Подробные разборы этих двух действий — сложение дробей и вычитание дробей.
Здесь правило короче, чем при сложении: числители перемножают между собой, знаменатели — между собой. Деление сводят к умножению на перевёрнутую дробь.
Взаимно обратные числа. Два числа взаимно обратны, если их произведение равно единице: 3/5 и 5/3, 7 и 1/7. Чтобы получить обратное число, дробь переворачивают. У нуля обратного числа нет.
Целое число как дробь. Целое записывают со знаменателем единица: 6 : 3/4 = 6/1 × 4/3 = 24/3 = 8. При умножении на дробь меньше единицы результат уменьшается, при делении на такую дробь — увеличивается. Отсюда и знакомое «делили, а стало больше»: это не ошибка.
Отдельно по шагам: умножение дробей и деление дробей.
Две задачи выглядят похоже, а действия у них противоположны. Разбираться помогает один вопрос: целое известно или его как раз ищут.
Дробь как результат деления. Запись a/b — это то же самое, что a : b. Поэтому 3 : 8 = 3/8, а не «ноль целых и остаток». В шестом классе на этом строят перевод в десятичную запись: 3/8 = 3 : 8 = 0,375.
Метрические единицы. Дробью удобно записывать доли величин: 25 см = 25/100 м = 1/4 м, 200 г = 200/1000 кг = 1/5 кг. Перевод сводится к сокращению.
Отношение двух чисел — их частное. Равенство двух отношений называют пропорцией. На пропорции держатся масштаб карты и пересчёт цены по количеству.
Отношение. Запись 12 : 18 читают «отношение двенадцати к восемнадцати» и сокращают как дробь: 12 : 18 = 12/18 = 2/3. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно составляет от другого.
Основное свойство пропорции. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Из a : b = c : d следует a × d = b × c. Отсюда находят неизвестный член: в 4 : 6 = x : 15 получаем 6 × x = 4 × 15 = 60, значит, x = 10.
Масштаб. Масштаб — это отношение длины на карте к длине на местности. При масштабе 1 : 25 000 один сантиметр на карте соответствует 25 000 см = 250 м. Отрезок 6 см на такой карте — это 1500 м, то есть полтора километра.
Процент — это одна сотая: 1 % = 1/100 = 0,01. С процентами решают три задачи, и все три сводятся к уже разобранным «части от числа» и «числу по части».
Перевод в обе стороны. Чтобы записать проценты дробью, делят на 100: 45 % = 0,45 = 45/100 = 9/20. Чтобы получить проценты из дроби, умножают на 100: 3/4 = 0,75 = 75 %. Дробь со знаменателем 100 и проценты — одна и та же запись разными словами.
Полезные доли наизусть. 50 % = 1/2, 25 % = 1/4, 20 % = 1/5, 10 % = 1/10, 5 % = 1/20. Считать через них быстрее: 20 % от 350 — это пятая часть, 70; скидка 25 % от 480 — четверть, 120.
Свои числа посчитает калькулятор процентов: он берёт все три задачи и показывает ход решения.
Числовая ось продолжается влево от нуля. Дроби со знаком минус ставят на неё так же, как положительные, только в другую сторону, и сравнивают по особому правилу.
Свои дроби: числитель со знаком от −24 до 24, знаменатель от 2 до 12
Нуль в середине, положительные числа справа, отрицательные слева. Из двух чисел больше то, которое стоит правее.
Модуль. Модуль числа — расстояние от нуля до точки на прямой, поэтому он никогда не бывает отрицательным. У −3/4 и 3/4 модуль один и тот же — 3/4. Числа с одинаковым модулем и разными знаками называют противоположными; их сумма равна нулю.
Действия со знаками. При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают модули и оставляют общий знак. При разных — из большего модуля вычитают меньший и берут знак того числа, у которого модуль больше. Вычитание заменяют прибавлением противоположного: 1/2 − 3/4 = 1/2 + (−3/4) = −1/4.
Знак произведения и частного. Минус на минус даёт плюс, минус на плюс — минус. Так же с делением: −3/5 : (−2/5) = 3/2 = 11/2.
Пять типов задач шестого класса: часть от целого, целое по части, отношение, проценты и отрицательные числа. Ход решения расписан по действиям.
Дроби со знаменателями до 25, у которых десятичная запись конечная. Третий столбец — те же значения в процентах. Всё точно, без округления.
| Дробь | Десятичная | Проценты |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50 % |
| 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 3/4 | 0,75 | 75 % |
| 1/5 | 0,2 | 20 % |
| 2/5 | 0,4 | 40 % |
| 3/5 | 0,6 | 60 % |
| 4/5 | 0,8 | 80 % |
| 1/8 | 0,125 | 12,5 % |
| 3/8 | 0,375 | 37,5 % |
| 5/8 | 0,625 | 62,5 % |
| 7/8 | 0,875 | 87,5 % |
| 1/10 | 0,1 | 10 % |
| 3/10 | 0,3 | 30 % |
| 7/10 | 0,7 | 70 % |
| 9/10 | 0,9 | 90 % |
| 1/20 | 0,05 | 5 % |
| 1/25 | 0,04 | 4 % |
| 11/2 | 1,5 | 150 % |
откроется окно печати — там выберите «Сохранить как PDF»
Дроби вроде 1/3 и 2/3 в таблицу не попали: их десятичная запись бесконечная — 0,333… и 0,666…, в ответе такие оставляют обыкновенными или округляют по условию задачи. Проценты в третьем столбце получены умножением на 100: 3/4 = 0,75 = 75 %.
Рядом с каждой ошибкой — правильный ход и быстрая проверка ответа.
темы годаДелители и кратные, НОД и НОК, признаки делимости; основное свойство дроби и сокращение, приведение к общему знаменателю и сравнение, четыре действия с обыкновенными дробями и смешанными числами, задачи на часть от целого и целое по части; отношения, пропорции, масштаб и проценты; положительные и отрицательные числа с модулем и координатной прямой. Так тема расписана в федеральной рабочей программе: «Натуральные числа» — 30 часов, «Дроби» — 32, «Положительные и отрицательные числа» — 40.
делим на НОДРазделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. В дроби 18/24 НОД равен 6, поэтому 18/24 = 3/4. Можно сокращать и по шагам — сначала на 2, потом на 3, — ответ будет тот же. Дробь сокращена до конца, когда у числителя и знаменателя не осталось общих делителей, кроме единицы.
через НОКВозьмите наименьшее общее кратное знаменателей. Для 5/12 и 7/18 НОК(12, 18) = 36: дополнительные множители 3 и 2, дроби превращаются в 15/36 и 14/36. Если больший знаменатель делится на меньший, он и будет общим; если знаменатели взаимно простые, общий знаменатель — их произведение.
основное свойствоЧислитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля, — величина дроби не изменится: a/b = a × k/b × k. Деление на общий делитель называют сокращением, умножение — приведением к новому знаменателю. На этом свойстве держатся и сокращение, и общий знаменатель.
перевернуть вторуюУмножьте первую дробь на перевёрнутую вторую: 5/6 : 2/3 = 5/6 × 3/2 = 5/4 = 11/4. Перевёрнутую дробь называют взаимно обратной — произведение числа и обратного ему равно единице. У нуля обратного числа нет, поэтому на ноль не делят.
частное двух чиселОтношение двух чисел — их частное: 12 : 18 = 12/18 = 2/3. Пропорция — равенство двух отношений: a : b = c : d. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, отсюда находят неизвестный член: в 4 : 6 = x : 15 получаем x = 10.
сотая доляПроцент — сотая доля: 1 % = 1/100 = 0,01. Найти 30 % от 250 — умножаем: 250 × 0,3 = 75. Найти число, у которого 30 % равны 75, — делим: 75 : 0,3 = 250. Узнать, сколько процентов одно число от другого, — делим первое на второе и умножаем на 100: 75 : 250 = 0,3, то есть 30 %.
модуль меньшеИз двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: −2/3 больше −3/4, потому что 8/12 меньше 9/12. Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного. Проще всего проверить по координатной прямой: правее — значит больше.
прибавить противоположноеПри одинаковых знаках складывают модули и оставляют общий знак. При разных — из большего модуля вычитают меньший и берут знак числа с большим модулем. Вычитание заменяют прибавлением противоположного числа: 1/2 − 3/4 = 1/2 + (−3/4) = −1/4.
разложить на множителиНаибольший общий делитель сокращает дробь за один шаг, наименьшее общее кратное даёт общий знаменатель без лишнего роста чисел. Оба находят разложением на простые множители: для НОД перемножают общие множители, для НОК — берут каждый множитель столько раз, сколько он встречается в одном из разложений чаще всего.
Состав тем года и их порядок сверены с федеральной рабочей программой и тремя школьными линиями учебников. Пункты названы: их можно открыть и проверить.
Линии расходятся в порядке тем: у Виленкина год начинается с делимости, у Никольского — с отношений и процентов. Разделы федеральной программы закрыты в обеих линиях. Сверьтесь со своим учебником.
Пример с большими знаменателями проверьте в калькуляторе дробей: он приводит дроби к общему знаменателю, сокращает ответ и показывает ход решения.
Открыть калькулятор дробей →Разборы соседних тем и калькуляторы, которые показывают ход решения.
Сайт и эту статью делает один человек, без редакции и без бюджета.
Если материал пригодился, проект можно поддержать переводом. Он ничего не открывает и ни к чему не обязывает: платных функций и подписок на сайте нет и не будет.