Дроби 6 класс

01Что меняется в шестом классе

Дроби уже знакомы с пятого класса: доли, запись, сравнение, действия с ними и десятичная запись. В шестом к ним подводят делимость, а рядом встают отношения, проценты и отрицательные числа.

Делимость. Делители и кратные, признаки делимости, разложение на простые множители, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, деление с остатком. Тема нужна не сама по себе: НОД сокращает дробь за один шаг, НОК даёт общий знаменатель. В федеральной рабочей программе раздел «Натуральные числа» занимает 30 часов.

Дроби. Основное свойство и сокращение, сравнение и упорядочивание, четыре действия, задачи на часть от целого и целое по его части, выражения, где обыкновенная дробь стоит рядом с десятичной. Раздел «Дроби» — 32 часа, и в него же входят отношения, деление в данном отношении, масштаб, пропорция и проценты.

Отрицательные числа. Целые числа, модуль, координатная прямая, сравнение и четыре действия с положительными и отрицательными числами, координатная плоскость с абсциссой и ординатой. Самый большой раздел года — 40 часов.

Дальше по странице: сокращение через НОД, общий знаменатель и сравнение, сложение и вычитание, умножение и деление, часть и целое, отношения и пропорции, проценты, отрицательные числа. Любой свой пример считает калькулятор дробей — он показывает ход решения, а не только ответ.

02Сокращение: делим на НОД

Основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля, — значение дроби не изменится. Деление на общий делитель и называется сокращением.

Как найти НОД. Раскладывают оба числа на простые множители и перемножают общие. Разложение удобно вести делением на 2, 3, 5, 7 — по признакам делимости видно, с чего начать.

1. Раскладываем числитель и знаменатель. В дроби 18/24 это 18 = 2 × 3 × 3 и 24 = 2 × 2 × 2 × 3.18/24
2. Собираем общие множители. В обоих разложениях есть одна двойка и одна тройка: 2 × 3 = 6.НОД(18, 24) = 6
3. Делим на НОД. 18 : 6 = 3 и 24 : 6 = 4.18/24 = 3/4
4. Проверяем, что дальше не сокращается. У 3 и 4 общих делителей, кроме единицы, нет — дробь несократимая.3/4

Признаки делимости. На 2 делится число с чётной последней цифрой, на 5 — с последней 0 или 5, на 10 — с последним нулём. На 3 и на 9 смотрят по сумме цифр: у 936 сумма 18, значит, число делится и на 3, и на 9. На 4 — если последние две цифры дают число, кратное четырём.

Несократимая дробь. Так называют дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно простые — их НОД равен единице: 5/8, 7/9, 13/20. В ответе дробь доводят до несократимого вида — иначе решение считают незаконченным.

Свою дробь сократит калькулятор сокращения дробей, а НОД и НОК для любых чисел покажет отдельный калькулятор.

03Общий знаменатель через НОК

Общий знаменатель — это число, которое делится на оба знаменателя. Наименьшее такое число называют наименьшим общим кратным: с ним числа в примере не разрастаются.

1. Смотрим на знаменатели. В паре 5/12 и 7/18 это 12 и 18.5/12 и 7/18
2. Раскладываем их на простые множители. 12 = 2 × 2 × 3, 18 = 2 × 3 × 3.12 = 2 × 2 × 3
3. Собираем НОК. Берём каждый множитель столько раз, сколько он встречается в одном из разложений чаще всего: 2 × 2 × 3 × 3 = 36.НОК(12, 18) = 36
4. Считаем дополнительные множители. 36 : 12 = 3 и 36 : 18 = 2, умножаем на них числитель и знаменатель.15/36 и 14/36
5. Сравниваем числители. 15 больше 14, значит, и первая дробь больше второй.5/12 больше 7/18

Когда НОК искать не нужно. Если больший знаменатель делится на меньший, он и будет общим: для 4 и 12 это 12. Если знаменатели взаимно простые, общий знаменатель — их произведение: для 5 и 7 это 35.

Упорядочить несколько дробей. Все дроби приводят к одному знаменателю и выстраивают по числителям. Иногда быстрее прикинуть: 4/9 меньше половины, 5/8 больше, значит, 4/9 меньше 5/8 — и общий знаменатель не понадобился.

Пару дробей с большими знаменателями сравнит калькулятор сравнения дробей.

04Тренажёр: пять уровней

Уровни идут по темам года: сокращение, сложение и вычитание, умножение и деление, проценты, сравнение с отрицательными числами. Пример меняется по кнопке, ответ проверяет браузер.

Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Дробь вписывают в два поля — числитель и знаменатель; целую часть заполняют только тогда, когда ответ получился смешанным числом.

05Сложение и вычитание: сначала знаменатель

Порядок один и тот же: приводим к общему знаменателю, складываем или вычитаем числители, знаменатель переписываем, ответ сокращаем и при неправильной дроби выделяем целую часть.

1. Приводим к общему знаменателю. Для 5/12 + 7/18 общий знаменатель 36.15/36 + 14/36
2. Складываем числители. 15 + 14 = 29, знаменатель остаётся 36.29/36
3. Проверяем на сокращение. 29 — простое число, 36 на него не делится, дробь несократимая.29/36

Смешанные числа. Целые части складывают отдельно, дробные — отдельно: 2 1/4 + 1 2/3 = 3 + 3/12 + 8/12 = 3 + 11/12 = 3 11/12. Если дробная часть вышла неправильной, из неё выделяют единицу и добавляют к целой.

1. Вычитание, когда дробной части не хватает. В 5 1/6 − 2 5/6 дробь 1/6 меньше 5/6, вычесть напрямую нельзя.5 1/6 − 2 5/6
2. Занимаем единицу у целой части. Единица — это 6/6, прибавляем её к 1/6: получается 7/6, а целых остаётся 4.4 7/6 − 2 5/6
3. Вычитаем по частям. Целые: 4 − 2 = 2. Дробные: 7/6 − 5/6 = 2/6 = 1/3.2 1/3

Подробные разборы этих двух действий — сложение дробей и вычитание дробей.

06Умножение и деление: общий знаменатель не нужен

Здесь правило короче, чем при сложении: числители перемножают между собой, знаменатели — между собой. Деление сводят к умножению на перевёрнутую дробь.

1. Сокращаем крест-накрест до умножения. В 4/9 × 3/8 четвёрка и восьмёрка делятся на 4, тройка и девятка — на 3.1/3 × 1/2
2. Перемножаем. Числители: 1 × 1 = 1. Знаменатели: 3 × 2 = 6.1/6

Взаимно обратные числа. Два числа взаимно обратны, если их произведение равно единице: 3/5 и 5/3, 7 и 1/7. Чтобы получить обратное число, дробь переворачивают. У нуля обратного числа нет.

1. Деление: переворачиваем вторую дробь. 5/6 : 2/3 превращается в 5/6 × 3/2.5/6 × 3/2
2. Сокращаем и перемножаем. Шестёрка и тройка делятся на 3: остаётся 5/2 × 1/2, то есть 5/4.5/4 = 1 1/4

Целое число как дробь. Целое записывают со знаменателем единица: 6 : 3/4 = 6/1 × 4/3 = 24/3 = 8. При умножении положительного числа на положительную дробь меньше единицы результат уменьшается, при делении на такую дробь — увеличивается. Отсюда и знакомое «делили, а стало больше»: это не ошибка.

Отдельно по шагам: умножение дробей и деление дробей.

07Часть от числа и число по части

Две задачи выглядят похоже, а действия у них противоположны. Разбираться помогает один вопрос: целое известно или его как раз ищут.

1. Часть от числа — умножаем. Целое известно. Найти 3/8 от 40: 40 × 3/8 = 120/8 = 15.15
2. Число по его части — делим. Целое ищут. 3/8 числа равны 15, значит, число равно 15 : 3/8 = 15 × 8/3 = 40.40

Дробь как результат деления. Запись a/b — это то же самое, что a : b. Поэтому 3 : 8 = 3/8, а не «ноль целых и остаток». В шестом классе на этом строят перевод в десятичную запись: 3/8 = 3 : 8 = 0,375.

Метрические единицы. Дробью удобно записывать доли величин: 25 см = 25/100 м = 1/4 м, 200 г = 200/1000 кг = 1/5 кг. Перевод сводится к сокращению.

08Отношения, пропорции и масштаб

Отношение двух чисел — их частное. Равенство двух отношений называют пропорцией. На пропорции держатся масштаб карты и пересчёт цены по количеству.

Отношение. Запись 12 : 18 читают «отношение двенадцати к восемнадцати» и сокращают как дробь: 12 : 18 = 12/18 = 2/3. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно составляет от другого.

1. Деление в данном отношении. Разделить 45 конфет в отношении 4 : 5.45 в отношении 4 : 5
2. Считаем число частей. 4 + 5 = 9 равных частей.9 частей
3. Находим одну часть. 45 : 9 = 5 конфет.1 часть = 5
4. Умножаем на число частей. 4 × 5 = 20 и 5 × 5 = 25.20 и 25

Основное свойство пропорции. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Из a : b = c : d следует a × d = b × c. Отсюда находят неизвестный член: в 4 : 6 = x : 15 получаем 6 × x = 4 × 15 = 60, значит, x = 10.

Масштаб. Масштаб — это отношение длины на карте к длине на местности. При масштабе 1 : 25 000 один сантиметр на карте соответствует 25 000 см = 250 м. Отрезок 6 см на такой карте — это 1500 м, то есть полтора километра.

09Проценты: сотая доля числа

Процент — это одна сотая: 1 % = 1/100 = 0,01. С процентами решают три задачи, и все три сводятся к уже разобранным «части от числа» и «числу по части».

1. Процент от числа. Найти 30 % от 250: переводим проценты в дробь и умножаем — 250 × 0,3 = 75.75
2. Число по его проценту. 30 % числа равны 75: делим — 75 : 0,3 = 250.250
3. Сколько процентов одно число от другого. 75 от 250 — это 75 : 250 = 0,3, то есть 30 %.30 %

Перевод в обе стороны. Чтобы записать проценты дробью, делят на 100: 45 % = 0,45 = 45/100 = 9/20. Чтобы получить проценты из дроби, умножают на 100: 3/4 = 0,75 = 75 %. Дробь со знаменателем 100 и проценты — одна и та же запись разными словами.

Полезные доли наизусть. 50 % = 1/2, 25 % = 1/4, 20 % = 1/5, 10 % = 1/10, 5 % = 1/20. Считать через них быстрее: 20 % от 350 — это пятая часть, 70; скидка 25 % от 480 — четверть, 120.

Свои числа посчитает калькулятор процентов: он берёт все три задачи и показывает ход решения.

10Отрицательные дроби и координатная прямая

Числовая ось продолжается влево от нуля. Дроби со знаком минус ставят на неё так же, как положительные, только в другую сторону, и сравнивают по особому правилу.

Модуль. Модуль числа — расстояние от нуля до точки на прямой, поэтому он никогда не бывает отрицательным. У −3/4 и 3/4 модуль один и тот же — 3/4. Числа с одинаковым модулем и разными знаками называют противоположными; их сумма равна нулю.

1. Сравнение с разными знаками. Любое отрицательное меньше любого положительного, и любое отрицательное меньше нуля.−5/6 меньше 1/8
2. Сравнение двух отрицательных. Больше то, у которого модуль меньше. Приводим модули к общему знаменателю: у −3/4 это 9/12, у −2/3 — 8/12.−2/3 больше −3/4

Действия со знаками. При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают модули и оставляют общий знак. При разных — из большего модуля вычитают меньший и берут знак того числа, у которого модуль больше. Вычитание заменяют прибавлением противоположного: 1/2 − 3/4 = 1/2 + (−3/4) = −1/4.

Знак произведения и частного. Минус на минус даёт плюс, минус на плюс — минус. Так же с делением: −3/5 : (−2/5) = 3/2 = 1 1/2.

11Пять задач с решением

Пять типов задач шестого класса: часть от целого, целое по части, отношение, проценты и отрицательные числа. Решите сами, потом нажмите «Показать решение» и сверьте ход.

Задача 1. В классе 32 ученика, 5/8 из них девочки. Сколько мальчиков?

Задача 2. Турист прошёл 12 км, это 3/7 маршрута. Какова длина маршрута?

Задача 3. Сплав из меди и цинка в отношении 5 : 3, масса 64 кг. Сколько меди?

Задача 4. Куртка стоила 4 800 рублей, её уценили на 15 %. Сколько она стоит теперь?

Задача 5. Утром было −3,5 °C, к полудню потеплело на 5 1/4 градуса. Какая стала температура?

12Таблица: дробь, десятичная, проценты

Часто встречающиеся дроби со знаменателями до 25, у которых десятичная запись конечная. Третий столбец — те же значения в процентах. Всё точно, без округления.

Сохранить таблицу в PDFоткроется окно печати — там выберите «Сохранить как PDF»

Дроби вроде 1/3 и 2/3 в таблицу не попали: их десятичная запись бесконечная — 0,333… и 0,666…, в ответе такие оставляют обыкновенными или округляют по условию задачи. Проценты в третьем столбце получены умножением на 100: 3/4 = 0,75 = 75 %.