Дроби 5 класс

01Дробь — это часть целого

Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделили целое. Числитель — сколько таких долей взяли. Черта между ними означает деление.

Как читают дроби. 1/2 — одна вторая, в жизни половина. 1/3 — одна третья, или треть. 1/4 — одна четвёртая, четверть. Дальше по порядку: 2/5 — две пятых, 7/10 — семь десятых. Числитель читают как обычное число, знаменатель — как порядковое: пятая, восьмая, двенадцатая.

Правильная и неправильная. Если числитель меньше знаменателя, дробь правильная и меньше единицы: 3/5, 7/8. Если числитель больше или равен знаменателю — дробь неправильная, она равна единице или больше: 5/5 = 1, 9/4 больше двух. Неправильную дробь в ответе переводят в смешанное число, об этом пятая глава.

Равные дроби. Одну и ту же часть записывают по-разному: 1/2 = 2/4 = 5/10. Числитель и знаменатель умножили на одно число — значение не изменилось. Обратный ход называется сокращением: 6/8 = 3/4. В ответе дробь всегда оставляют сокращённой.

Что дальше по программе: сравнение дробей, сложение и вычитание, смешанные числа, часть от числа, десятичные дроби. Любой свой пример можно посчитать в калькуляторе дробей — он показывает ход решения, а не только ответ.

02Сравнение дробей: три случая

Дроби сравнивают по числителям только тогда, когда знаменатели одинаковые. В остальных случаях сначала уравнивают доли.

Знаменатели одинаковые. Доли одного размера, поэтому больше та дробь, у которой больше числитель: 3/7 меньше 5/7. Пять долей больше трёх, размер доли один и тот же.

Числители одинаковые. Здесь наоборот: чем больше знаменатель, тем мельче доля. 3/5 больше 3/8, потому что пятая часть крупнее восьмой. Пирог, разрезанный на пять кусков, даёт куски крупнее, чем разрезанный на восемь.

Разные и числители, и знаменатели. Дроби приводят к общему знаменателю и дальше сравнивают числители.

1. Смотрим на знаменатели. В примере 3/4 и 5/6 они разные — 4 и 6.3/4 и 5/6
2. Ищем общий знаменатель. Наименьшее общее кратное 4 и 6 равно 12: 12 делится и на 4, и на 6.общий знаменатель 12
3. Считаем дополнительные множители. 12 : 4 = 3 для первой дроби, 12 : 6 = 2 для второй. Умножаем на них числитель и знаменатель.9/12 и 10/12
4. Сравниваем числители. 9 меньше 10, значит, и первая дробь меньше второй.3/4 меньше 5/6

Сравнение с единицей. Правильная дробь всегда меньше единицы, неправильная — больше или равна ей. Это помогает без счёта: 7/8 меньше 1, а 9/8 больше, значит, 7/8 меньше 9/8.

Пару дробей с большими знаменателями сравнит калькулятор сравнения дробей, а наименьшее общее кратное для любых чисел — НОД и НОК.

03Тренажёр: пять уровней

Уровни идут в порядке программы: сравнение, действия с одинаковыми знаменателями, разные знаменатели, смешанные числа, часть от числа. Пример меняется по кнопке, ответ проверяет браузер.

Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Дробную часть вписывают в два поля — числитель и знаменатель, целую часть заполняют только у смешанного числа.

04Сложение и вычитание: общий знаменатель

Складывают и вычитают только числители, знаменатель при этом не меняется. Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему.

Одинаковые знаменатели. 2/9 + 5/9 = 7/9: сложили две девятых и пять девятых, получили семь девятых. Вычитание так же: 7/8 − 3/8 = 4/8, и ответ сокращают до 1/2.

Разные знаменатели. Складывать напрямую нельзя: доли разного размера. Сначала общий знаменатель, потом сложение.

1. Записываем пример. Знаменатели 2 и 3 разные, значит, шаг с приведением обязателен.1/2 + 1/3
2. Ищем общий знаменатель. Наименьшее общее кратное 2 и 3 равно 6.общий знаменатель 6
3. Приводим к нему обе дроби. 6 : 2 = 3, значит, 1/2 = 3/6. И 6 : 3 = 2, значит, 1/3 = 2/6.3/6 + 2/6
4. Складываем числители. 3 + 2 = 5, знаменатель остаётся шестым.5/6
5. Проверяем ответ. Дробь правильная и не сокращается — 5 и 6 не делятся на одно число.1/2 + 1/3 = 5/6

Вычитание из целого. Единицу записывают дробью с нужным знаменателем: 1 − 3/8 = 8/8 − 3/8 = 5/8. То же с любым целым: 2 − 1/4 = 8/4 − 1/4 = 7/4, то есть 1 3/4.

Подробные разборы с тренажёрами: сложение дробей и вычитание дробей.

05Смешанные числа: целая часть и дробь

Смешанное число — это целая часть и правильная дробь рядом: 2 3/5 читают «две целых три пятых». Любую неправильную дробь переводят в смешанное число делением с остатком.

1. Делим числитель на знаменатель. В дроби 17/5 это 17 : 5 = 3 и 2 в остатке.17 : 5 = 3 (ост. 2)
2. Целая часть — неполное частное. Целых пятых уложилось три.целая часть 3
3. Остаток идёт в числитель. Знаменатель остаётся прежним.17/5 = 3 2/5

Обратный перевод. Целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель: для 3 2/7 это 3 × 7 + 2 = 23, знаменатель прежний, получается 23/7. Этот шаг нужен всякий раз перед умножением и делением смешанных чисел.

Сложение. Целые складывают с целыми, дроби с дробями: 2 1/4 + 1 1/2 = 3 и 1/4 + 2/4 = 3 3/4. Если дробная часть получилась неправильной, из неё выделяют единицу и добавляют к целой: 1 3/5 + 2 4/5 = 3 и 7/5 = 4 2/5.

Вычитание с занятием единицы. Когда дробная часть уменьшаемого меньше вычитаемой, у целой части занимают единицу: 3 1/5 − 1 3/5. Одну целую превращают в 5/5, дробная часть становится 6/5, у целой части остаётся 3 − 1 = 2, из них вычитаем целую часть вычитаемого: 2 − 1 = 1, и 6/5 − 3/5 = 3/5. Ответ 1 3/5.

Неправильную дробь в смешанную переведёт калькулятор дробей: он же складывает и вычитает смешанные числа.

06Часть от числа и число по части

Две задачи, которые в пятом классе идут парой. В первой известно целое и надо найти часть, во второй известна часть и надо найти целое. Порядок действий у них обратный.

Найти часть от числа. Делят на знаменатель, умножают на числитель.

1. Записываем задачу. Найти 2/5 от числа 45.2/5 от 45
2. Делим на знаменатель. Узнаём, чему равна одна пятая: 45 : 5 = 9.одна пятая — это 9
3. Умножаем на числитель. Пятых частей взяли две: 9 × 2 = 18.2/5 от 45 = 18

Найти число по его части. Порядок обратный: делят на числитель, умножают на знаменатель. Если 3/7 числа равны 21, то одна седьмая — это 21 : 3 = 7, а всё число 7 × 7 = 49.

Как не перепутать. Смотрят, что неизвестно. Неизвестна часть — целое дают в условии, значит, делим на знаменатель. Неизвестно целое — часть дают в условии, значит, делим на числитель. Если дробь правильная, ответ во второй задаче больше данного числа, в первой меньше.

Проценты — это те же части со знаменателем 100, поэтому дальше по программе идёт калькулятор процентов.

07Десятичные дроби: запятая вместо черты

Десятичная дробь — это обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000, записанная через запятую: 7/10 = 0,7, а 25/100 = 0,25.

Разряды после запятой. Первый — десятые, второй — сотые, третий — тысячные. Число 3,25 читают «три целых двадцать пять сотых»: последний разряд и даёт название.

Сравнение. Сначала сравнивают целые части, потом разряды по очереди. Длина записи ничего не значит: у 0,4 и 0,25 в десятых 4 и 2, поэтому 0,4 больше. Чтобы не путаться, дописывают нули справа — 0,40 и 0,25, от этого дробь не меняется.

Сложение и вычитание. В столбик запятая пишется под запятой, недостающие разряды дополняют нулями: 2,70 + 0,45 = 3,15. Так же с вычитанием: 4,50 − 1,75 = 2,75.

Перевод обыкновенной в десятичную. Числитель делят на знаменатель: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Если знаменатель приводится к 10, 100 или 1000, проще домножить: 3/4 = 75/100 = 0,75, 2/5 = 4/10 = 0,4.

Обратный перевод. В числитель ставят цифры после запятой, в знаменатель — единицу с таким же числом нулей, и сокращают: 0,35 = 35/100 = 7/20.

Готовые ответы для частых дробей — в таблице ниже. Свой случай посчитает перевод десятичной дроби в обыкновенную, деление с большими числами — деление столбиком.

08Пять задач с решением

Задачи собраны по темам выше. Решите сами, потом нажмите «Показать решение» и сверьте ход.

Задача 1. В книге 120 страниц. Ученик прочитал 3/8 книги. Сколько страниц он прочитал и сколько осталось?

Задача 2. В первый день турист прошёл 2/5 пути, во второй — 1/3 пути. Какая часть пути пройдена и какая осталась?

Задача 3. В корзине 24 яблока, раздали 5/6. Сколько яблок осталось?

Задача 4. 4/9 задуманного числа равны 36. Какое число задумали?

Задача 5. В бидоне было 4,5 л молока. Вылили 1,75 л. Сколько молока осталось?

09Таблица: дробь, десятичная, проценты

Часто встречающиеся дроби со знаменателями до 25, у которых десятичная запись конечная. Значения точные, без округления.

Сохранить таблицу в PDFоткроется окно печати — там выберите «Сохранить как PDF»

Дроби вроде 1/3 и 2/3 в эту таблицу не попали: их десятичная запись бесконечная — 0,333… и 0,666…, в ответе такие оставляют обыкновенными или округляют по условию задачи.