Дроби в пятом классе — это шесть тем: запись дроби и доли, сравнение, сложение и вычитание, смешанные числа, часть от числа и десятичные дроби. Ниже примеры по каждой теме с решением по шагам, тренажёр на пять уровней, пять задач с решением и разбор ошибок, из-за которых ответ не сходится.
Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделили целое. Числитель — сколько таких долей взяли. Черта между ними означает деление.
Знаменатель говорит, на сколько равных долей разделили полосу, числитель — сколько долей закрасили. Подставьте свою дробь и посмотрите, какая это часть.
Как читают дроби. 1/2 — одна вторая, в жизни половина. 1/3 — одна третья, или треть. 1/4 — одна четвёртая, четверть. Дальше по порядку: 2/5 — две пятых, 7/10 — семь десятых. Числитель читают как обычное число, знаменатель — как порядковое: пятая, восьмая, двенадцатая.
Правильная и неправильная. Если числитель меньше знаменателя, дробь правильная и меньше единицы: 3/5, 7/8. Если числитель больше или равен знаменателю — дробь неправильная, она равна единице или больше: 5/5 = 1, 9/4 больше двух. Неправильную дробь в ответе переводят в смешанное число, об этом пятая глава.
Равные дроби. Одну и ту же часть записывают по-разному: 1/2 = 2/4 = 5/10. Числитель и знаменатель умножили на одно число — значение не изменилось. Обратный ход называется сокращением: 6/8 = 3/4. В ответе дробь всегда оставляют сокращённой.
Что дальше по программе: сравнение дробей, сложение и вычитание, смешанные числа, часть от числа, десятичные дроби. Любой свой пример можно посчитать в калькуляторе дробей — он показывает ход решения, а не только ответ.
Дроби сравнивают по числителям только тогда, когда знаменатели одинаковые. В остальных случаях сначала уравнивают доли.
Знаменатели одинаковые. Доли одного размера, поэтому больше та дробь, у которой больше числитель: 3/7 меньше 5/7. Пять долей больше трёх, размер доли один и тот же.
Числители одинаковые. Здесь наоборот: чем больше знаменатель, тем мельче доля. 3/5 больше 3/8, потому что пятая часть крупнее восьмой. Пирог, разрезанный на пять кусков, даёт куски крупнее, чем разрезанный на восемь.
Разные и числители, и знаменатели. Дроби приводят к общему знаменателю и дальше сравнивают числители.
Свои дроби: числитель до 36, знаменатель от 2 до 12
На числовом луче видно то же самое: 3/4 стоит левее 5/6, а из двух дробей меньше та, что левее.
Сравнение с единицей. Правильная дробь всегда меньше единицы, неправильная — больше или равна ей. Это помогает без счёта: 7/8 меньше 1, а 9/8 больше, значит, 7/8 меньше 9/8.
Пару дробей с большими знаменателями сравнит калькулятор сравнения дробей, а наименьшее общее кратное для любых чисел — НОД и НОК.
Уровни идут в порядке программы: сравнение, действия с одинаковыми знаменателями, разные знаменатели, смешанные числа, часть от числа. Пример меняется по кнопке, ответ проверяет браузер.
Сравните дроби
Ваш ответ
Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Дробную часть вписывают в два поля — числитель и знаменатель, целую часть заполняют только у смешанного числа.
Складывают и вычитают только числители, знаменатель при этом не меняется. Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему.
Одинаковые знаменатели. 2/9 + 5/9 = 7/9: сложили две девятых и пять девятых, получили семь девятых. Вычитание так же: 7/8 − 3/8 = 4/8, и ответ сокращают до 1/2.
Разные знаменатели. Складывать напрямую нельзя: доли разного размера. Сначала общий знаменатель, потом сложение.
Вычитание из целого. Единицу записывают дробью с нужным знаменателем: 1 − 3/8 = 8/8 − 3/8 = 5/8. То же с любым целым: 2 − 1/4 = 8/4 − 1/4 = 7/4, то есть 13/4.
Подробные разборы с тренажёрами: сложение дробей и вычитание дробей.
Смешанное число — это целая часть и правильная дробь рядом: 23/5 читают «две целых три пятых». Любую неправильную дробь переводят в смешанное число делением с остатком.
Обратный перевод. Целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель: 32/7 = 3 × 7 + 2 = 23, знаменатель прежний, получается 23/7. Этот шаг нужен всякий раз перед умножением и делением смешанных чисел.
Сложение. Целые складывают с целыми, дроби с дробями: 21/4 + 11/2 = 3 и 1/4 + 2/4 = 33/4. Если дробная часть получилась неправильной, из неё выделяют единицу и добавляют к целой: 13/5 + 24/5 = 3 и 7/5 = 42/5.
Вычитание с занятием единицы. Когда дробная часть уменьшаемого меньше вычитаемой, у целой части занимают единицу: 31/5 − 13/5. Одну целую превращают в 5/5, дробная часть становится 6/5, дальше 3 − 1 = 2 без занятой единицы, точнее 2 − 1 = 1, и 6/5 − 3/5 = 3/5. Ответ 13/5.
Неправильную дробь в смешанную переведёт калькулятор дробей: он же складывает и вычитает смешанные числа.
Две задачи, которые в пятом классе идут парой. В первой известно целое и надо найти часть, во второй известна часть и надо найти целое. Порядок действий у них обратный.
Найти часть от числа. Делят на знаменатель, умножают на числитель.
Найти число по его части. Порядок обратный: делят на числитель, умножают на знаменатель. Если 3/7 числа равны 21, то одна седьмая — это 21 : 3 = 7, а всё число 7 × 7 = 49.
Как не перепутать. Смотрят, что неизвестно. Неизвестна часть — целое дают в условии, значит, делим на знаменатель. Неизвестно целое — часть дают в условии, значит, делим на числитель. Ответ во второй задаче всегда больше данного числа, в первой меньше.
Проценты — это те же части со знаменателем 100, поэтому дальше по программе идёт калькулятор процентов.
Десятичная дробь — это обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000, записанная через запятую: 7/10 = 0,7, а 25/100 = 0,25.
Разряды после запятой. Первый — десятые, второй — сотые, третий — тысячные. Число 3,25 читают «три целых двадцать пять сотых»: последний разряд и даёт название.
Сравнение. Сначала сравнивают целые части, потом разряды по очереди. Длина записи ничего не значит: у 0,4 и 0,25 в десятых 4 и 2, поэтому 0,4 больше. Чтобы не путаться, дописывают нули справа — 0,40 и 0,25, от этого дробь не меняется.
Сложение и вычитание. В столбик запятая пишется под запятой, недостающие разряды дополняют нулями: 2,70 + 0,45 = 3,15. Так же с вычитанием: 4,50 − 1,75 = 2,75.
Перевод обыкновенной в десятичную. Числитель делят на знаменатель: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Если знаменатель приводится к 10, 100 или 1000, проще домножить: 3/4 = 75/100 = 0,75, 2/5 = 4/10 = 0,4.
Обратный перевод. В числитель ставят цифры после запятой, в знаменатель — единицу с таким же числом нулей, и сокращают: 0,35 = 35/100 = 7/20.
Готовые ответы для частых дробей — в таблице ниже. Свой случай посчитает перевод десятичной дроби в обыкновенную, деление с большими числами — деление столбиком.
Задачи собраны по темам выше. Сначала попробуйте решить сами, потом сверьте ход.
Задача 1. В книге 120 страниц. Ученик прочитал 3/8 книги. Сколько страниц он прочитал и сколько осталось?
Задача 2. В первый день турист прошёл 2/5 пути, во второй — 1/3 пути. Какая часть пути пройдена и какая осталась?
Задача 3. В корзине 24 яблока, раздали 5/6. Сколько яблок осталось?
Задача 4. 4/9 задуманного числа равны 36. Какое число задумали?
Задача 5. В бидоне было 4,5 л молока. Вылили 1,75 л. Сколько молока осталось?
Дроби со знаменателями до 25, у которых десятичная запись конечная. Значения точные, без округления.
| Дробь | Десятичная | Проценты |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50 % |
| 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 3/4 | 0,75 | 75 % |
| 1/5 | 0,2 | 20 % |
| 2/5 | 0,4 | 40 % |
| 3/5 | 0,6 | 60 % |
| 4/5 | 0,8 | 80 % |
| 1/8 | 0,125 | 12,5 % |
| 3/8 | 0,375 | 37,5 % |
| 5/8 | 0,625 | 62,5 % |
| 7/8 | 0,875 | 87,5 % |
| 1/10 | 0,1 | 10 % |
| 3/10 | 0,3 | 30 % |
| 7/10 | 0,7 | 70 % |
| 9/10 | 0,9 | 90 % |
| 1/20 | 0,05 | 5 % |
| 1/25 | 0,04 | 4 % |
| 11/2 | 1,5 | 150 % |
откроется окно печати — там выберите «Сохранить как PDF»
Дроби вроде 1/3 и 2/3 в эту таблицу не попали: их десятичная запись бесконечная — 0,333… и 0,666…, в ответе такие оставляют обыкновенными или округляют по условию задачи.
Рядом с каждой ошибкой — правильный ход и быстрая проверка ответа.
часть целогоДробь показывает, сколько долей целого взяли. Знаменатель — на сколько равных долей разделили, числитель — сколько долей взяли. Запись 3/5 означает три доли из пяти, а черта заменяет знак деления: 3/5 = 3 : 5.
шесть темДоли и запись обыкновенной дроби, правильные и неправильные дроби, сравнение, сложение и вычитание с общим знаменателем, смешанные числа, часть от числа и число по его части, десятичные дроби со сложением и вычитанием. Умножение и деление дробей начинают в шестом классе.
к общему знаменателюПри одинаковых знаменателях больше та, у которой больше числитель: 3/7 меньше 5/7. При одинаковых числителях наоборот — больше та, у которой знаменатель меньше: 3/5 больше 3/8. Если разное и то, и другое, дроби приводят к общему знаменателю: 3/4 и 5/6 превращаются в 9/12 и 10/12, значит, 3/4 меньше.
сначала общий знаменательПриведите обе дроби к общему знаменателю и сложите числители: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Знаменатели не складывают — они показывают размер доли, а не количество.
деление с остаткомРазделите числитель на знаменатель с остатком: 17 : 5 = 3 и 2 в остатке, поэтому 17/5 = 32/5. Неполное частное становится целой частью, остаток — числителем, знаменатель не меняется.
умножить и прибавитьУмножьте целую часть на знаменатель и прибавьте числитель: 32/7 = 3 × 7 + 2 = 23/7. Знаменатель остаётся прежним. Частая ошибка — забыть про числитель и получить 21/7.
делим и умножаемРазделите число на знаменатель и умножьте на числитель. Чтобы найти 2/5 от 45: 45 : 5 = 9, затем 9 × 2 = 18. Если известна часть, а искать надо целое, порядок обратный: 3/7 числа равны 21, значит, 21 : 3 = 7 и 7 × 7 = 49.
разделить числительРазделите числитель на знаменатель: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Если знаменатель легко привести к 10, 100 или 1000, проще домножить: 2/5 = 4/10 = 0,4. Дроби со знаменателем 3, 6, 7, 9 дают бесконечную запись — их оставляют обыкновенными.
на общий делительРазделите числитель и знаменатель на одно и то же число: 6/8 = 3/4, 20/50 = 2/5. Быстрее всего делить на наибольший общий делитель. Дробь сокращена до конца, когда у числителя и знаменателя не осталось общих делителей, кроме единицы.
сравнить с единицейУ правильной дроби числитель меньше знаменателя, и сама она меньше единицы: 3/5, 7/8. У неправильной числитель больше или равен знаменателю, и она равна единице или больше: 5/5 = 1, 9/4 = 21/4. В ответе неправильную дробь переводят в смешанное число.
Пример с большими знаменателями проверьте в калькуляторе дробей: он приводит дроби к общему знаменателю, сокращает ответ и показывает ход решения.
Открыть калькулятор дробей →Разборы соседних тем и калькуляторы, которые показывают ход решения.
Сайт и эту статью делает один человек, без редакции и без бюджета.
Если материал пригодился, проект можно поддержать переводом. Он ничего не открывает и ни к чему не обязывает: платных функций и подписок на сайте нет и не будет.