Овал и эллипс — это одно и то же?
В школьной задаче — да: под словом «овал» почти всегда имеют в виду эллипс, и площадь считается по формуле S = π·a·b. В быту — нет. Овальный бассейн, беговая дорожка стадиона, овальный воздуховод и большинство овальных столов сделаны не из эллипса, а из прямоугольника с двумя полукругами по торцам. Эту фигуру называют стадионом, и площадь у неё другая.
Разница не косметическая. Возьмём габариты 8 × 4 метра. У эллипса с такими осями площадь равна 25,13 м², у стадиона тех же габаритов — 28,57 м². Это 14 % разницы: на бассейне это лишние кубометры воды, на клумбе — лишние мешки грунта. Поэтому в калькуляторе выше стадион вынесен отдельным режимом, а не спрятан под общим словом «овал».
Формулы
Эллипс по полуосям. Полуось — это половина оси, расстояние от центра до края. Если большая полуось a, малая b, то площадь равна произведению полуосей на число π:
S = π · a · b
Эллипс по осям. Оси измеряются насквозь, через весь овал, и вдвое больше полуосей. Тогда формула превращается в:
S = π · A · B / 4
Это самая частая ошибка в расчётах: человек измеряет овал рулеткой насквозь, получает оси, а подставляет их в формулу для полуосей — и площадь выходит вчетверо больше настоящей. В калькуляторе для этого два отдельных режима, чтобы не пришлось делить в уме.
Овал-стадион. Длина L, ширина W, радиус торцов равен половине ширины:
S = π · (W/2)² + (L − W) · W
Первое слагаемое — два полукруга, которые вместе дают полный круг. Второе — прямоугольная вставка между ними.
Частный случай. Если полуоси равны, эллипс становится кругом, и формула сама превращается в S = π·r² — отдельная страница площади круга для этого не нужна, но там разобраны свои режимы.
Периметр эллипса: почему у него нет простой формулы
Площадь эллипса считается элементарно, а вот длина его границы — нет. Периметр эллипса выражается через полный эллиптический интеграл второго рода и в элементарных функциях не записывается вовсе. Это не недоработка учебника: доказано, что такой формулы не существует.
Поэтому на практике пользуются приближениями. Самое известное — вторая формула Рамануджана:
P ≈ π · (a + b) · (1 + 3h / (10 + √(4 − 3h))), где h = (a − b)² / (a + b)²
Она очень точна на округлых овалах; на вытянутых ошибка растёт, но и в предельном случае остаётся около 0,04 %. Наш калькулятор считает периметр точно — методом среднего арифметико-геометрического, который сходится к настоящему значению интеграла, и рядом показывает приближение Рамануджана с его ошибкой, чтобы разницу было видно:
| Отношение осей | Точный периметр | По Рамануджану | Ошибка |
|---|---|---|---|
| 1 : 1 (круг) | 6,283185 | 6,283185 | 0 |
| 2 : 1 | 9,688448 | 9,688448 | 0,00000005 % |
| 5 : 1 | 21,010045 | 21,010027 | 0,000085 % |
| 10 : 1 | 40,639742 | 40,639272 | 0,0012 % |
| 50 : 1 | 200,191958 | 200,160857 | 0,016 % |
Значения в таблице даны для малой полуоси, равной единице. Для школьной задачи разница не важна, для раскроя материала по контуру длинного овала — уже да.
Обратная задача: известна площадь
Бывает наоборот: площадь задана, известна одна полуось, нужна вторая. Из S = π·a·b получаем:
b = S / (π · a)
Так считают, например, размер овальной клумбы под известное количество грунта или ширину овального проёма при заданной площади сечения. В калькуляторе для этого есть режим «Площадь и одна полуось».
Эксцентриситет и фокусы
Эксцентриситет показывает, насколько эллипс вытянут. Он равен отношению расстояния от центра до фокуса к большой полуоси:
c = √(a² − b²), e = c / a
У круга e = 0, у сильно вытянутого овала e стремится к единице. Значение полезно не только в геометрии: орбиты планет — эллипсы, и их вытянутость задаётся именно эксцентриситетом. Калькулятор показывает и e, и само расстояние до фокусов — по нему размечают овал верёвкой с двумя колышками.
Как начертить овал по расчёту
Способ садовника: вбить два колышка в точках фокусов на расстоянии c от центра, натянуть между ними нить длиной 2a и вести карандашом, держа нить натянутой. Получится эллипс ровно с теми полуосями, которые вы задали. Длина нити и расстояние между колышками берутся прямо из результата расчёта.
Единицы измерения и округление
Все размеры вводятся в одной единице — той, что выбрана в списке. Площадь получается в её квадратах: ввели сантиметры, ответ будет в см². Смешивать нельзя: если одна сторона в метрах, а вторая в сантиметрах, переведите обе к одному виду.
Поля принимают запятую и обыкновенную дробь: 3,5 и 7/2 — это одно и то же число. Точность ответа задаётся отдельно, от целого до шести знаков; на промежуточные вычисления округление не влияет, оно применяется только к выводу.
Как рассчитать площадь овала
- Выберите в списке «Что известно», что у вас есть: две полуоси, две оси-диаметра, площадь с одной полуосью или габариты овала-стадиона.
- Введите значения в одной единице измерения. Поля принимают запятую и обыкновенную дробь вида 7/2.
- Задайте единицу измерения и число знаков после запятой.
- Получите площадь, точный периметр, эксцентриситет и фокусы, ход решения с подстановкой чисел и чертёж по вашим размерам.