Калькулятор площади овала

Овал и эллипс - это одно и то же?

В школьной задаче - да: под словом «овал» почти всегда имеют в виду эллипс, и площадь считается по формуле S = π·a·b. В быту - нет. Овальный бассейн, беговая дорожка стадиона, овальный воздуховод и большинство овальных столов сделаны не из эллипса, а из прямоугольника с двумя полукругами по торцам. Эту фигуру называют стадионом, и площадь у неё другая.

Разница не косметическая. Возьмём габариты 8 × 4 метра. У эллипса с такими осями площадь равна 25,13 м², у стадиона тех же габаритов - 28,57 м². Это 14 % разницы: на бассейне это лишние кубометры воды, на клумбе - лишние мешки грунта. Поэтому в калькуляторе выше стадион вынесен отдельным режимом, а не спрятан под общим словом «овал».

Формулы

Эллипс по полуосям. Полуось - это половина оси, расстояние от центра до края. Если большая полуось a, малая b, то площадь равна произведению полуосей на число π:

S = π · a · b

Эллипс по осям. Оси измеряются насквозь, через весь овал, и вдвое больше полуосей. Тогда формула превращается в:

S = π · A · B / 4

Это самая частая ошибка в расчётах: человек измеряет овал рулеткой насквозь, получает оси, а подставляет их в формулу для полуосей - и площадь выходит вчетверо больше настоящей. В калькуляторе для этого два отдельных режима, чтобы не пришлось делить в уме.

Овал-стадион. Длина L, ширина W, радиус торцов равен половине ширины:

S = π · (W/2)² + (L − W) · W

Первое слагаемое - два полукруга, которые вместе дают полный круг. Второе - прямоугольная вставка между ними.

Частный случай. Если полуоси равны, эллипс становится кругом, и формула сама превращается в S = π·r² - отдельная страница площади круга для этого не нужна, но там разобраны свои режимы.

Периметр эллипса: почему у него нет простой формулы

Площадь эллипса считается элементарно, а вот длина его границы - нет. Периметр эллипса выражается через полный эллиптический интеграл второго рода и в элементарных функциях не записывается вовсе. Это не недоработка учебника: доказано, что такой формулы не существует.

Поэтому на практике пользуются приближениями. Самое известное - вторая формула Рамануджана:

P ≈ π · (a + b) · (1 + 3h / (10 + √(4 − 3h))), где h = (a − b)² / (a + b)²

Она очень точна на округлых овалах и заметно врёт на вытянутых. Наш калькулятор считает периметр точно - методом среднего арифметико-геометрического, который сходится к настоящему значению интеграла, и рядом показывает приближение Рамануджана с его ошибкой, чтобы разницу было видно:

Отношение осей	Точный периметр	По Рамануджану	Ошибка
1 : 1 (круг)	6,283185	6,283185	0
2 : 1	9,688448	9,688448	0,00000005 %
5 : 1	21,010045	21,010027	0,000085 %
10 : 1	40,639742	40,639272	0,0012 %
50 : 1	200,191958	200,160857	0,016 %

Значения в таблице даны для малой полуоси, равной единице. Для школьной задачи разница не важна, для раскроя материала по контуру длинного овала - уже да.

Обратная задача: известна площадь

Бывает наоборот: площадь задана, известна одна полуось, нужна вторая. Из S = π·a·b получаем:

b = S / (π · a)

Так считают, например, размер овальной клумбы под известное количество грунта или ширину овального проёма при заданной площади сечения. Отдельного режима под эту задачу нет ни у одного калькулятора из первой десятки выдачи - приходится делить вручную.

Эксцентриситет и фокусы

Эксцентриситет показывает, насколько эллипс вытянут. Он равен отношению расстояния от центра до фокуса к большой полуоси:

c = √(a² − b²), e = c / a

У круга e = 0, у сильно вытянутого овала e стремится к единице. Значение полезно не только в геометрии: орбиты планет - эллипсы, и их вытянутость задаётся именно эксцентриситетом. Калькулятор показывает и e, и само расстояние до фокусов - по нему размечают овал верёвкой с двумя колышками.

Как начертить овал по расчёту

Способ садовника: вбить два колышка в точках фокусов на расстоянии c от центра, натянуть между ними нить длиной 2a и вести карандашом, держа нить натянутой. Получится эллипс ровно с теми полуосями, которые вы задали. Длина нити и расстояние между колышками берутся прямо из результата расчёта.

Единицы измерения и округление

Все размеры вводятся в одной единице - той, что выбрана в списке. Площадь получается в её квадратах: ввели сантиметры, ответ будет в см². Смешивать нельзя: если одна сторона в метрах, а вторая в сантиметрах, переведите обе к одному виду.

Поля принимают запятую и обыкновенную дробь: 3,5 и 7/2 - это одно и то же число. Точность ответа задаётся отдельно, от целого до шести знаков; на промежуточные вычисления округление не влияет, оно применяется только к выводу.

Как рассчитать площадь овала

1. Выберите в списке «Что известно», что у вас есть: две полуоси, две оси-диаметра, площадь с одной полуосью или габариты овала-стадиона.
2. Введите значения в одной единице измерения. Поля принимают запятую и обыкновенную дробь вида 7/2.
3. Задайте единицу измерения и число знаков после запятой.
4. Получите площадь, точный периметр, эксцентриситет и фокусы, ход решения с подстановкой чисел и чертёж по вашим размерам.

Частые вопросы

Чем площадь овала отличается от площади эллипса?

Ничем, если под овалом понимают эллипс: обе считаются как π·a·b. Разница появляется, когда овал сделан из прямоугольника и двух полукругов - тогда площадь считается по формуле стадиона и получается больше при тех же габаритах.

Что подставлять, если я измерил овал рулеткой насквозь?

Насквозь измеряются оси, а не полуоси. Выберите режим «Две оси A и B» - калькулятор сам разделит их пополам. Если подставить оси в формулу для полуосей, ответ будет вчетверо больше правильного.

Как посчитать площадь овала, если известна только длина границы?

Однозначно - никак: одному и тому же периметру отвечает бесконечно много эллипсов с разной площадью, от почти круга до вытянутой полоски. Нужен ещё один размер - любая из осей или полуосей.

Почему периметр овала считается приближённо?

Потому что точная длина границы эллипса выражается через эллиптический интеграл, у которого нет записи в элементарных функциях. Наш калькулятор вычисляет этот интеграл численно и даёт точное значение, а приближение Рамануджана показывает рядом для сравнения.

Площадь овала считается в квадратных метрах?

В квадратах той единицы, в которой введены размеры. Ввели метры - ответ в м², ввели сантиметры - в см². Перевод между единицами не делается автоматически, чтобы не прятать ошибку смешанного ввода.

Источники

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов - формулы площади эллипса и его элементов.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров - эллиптические интегралы и метод среднего арифметико-геометрического.
• Ramanujan S. Modular equations and approximations to π // Quarterly Journal of Mathematics, 1914 - второе приближение периметра эллипса.