Калькулятор площади поверхности конуса

Формулы площади поверхности конуса

У конуса две поверхности: боковая - развёрнутый круговой сектор, и основание - круг. Полная площадь это их сумма.

В таблице все три формулы посчитаны на школьном наборе данных: радиус 3, высота 4, откуда образующая равна 5. Обратите внимание, что в формулу боковой поверхности входит образующая, а не высота - подстановка высоты вместо неё даёт заниженный ответ.

Как найти образующую

Образующая - отрезок от вершины конуса до края основания. Она вычисляется по теореме Пифагора из радиуса и высоты:

l = √(r² + h²)

Радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник, поэтому образующая всегда длиннее и радиуса, и высоты. Если в задаче дана образующая, а нужна высота, работает обратный ход: h = √(l² − r²). Калькулятор выводит обе величины сразу, какую бы пару вы ни ввели.

Усечённый конус

Усечённый конус получается, если у обычного срезать верхушку плоскостью, параллельной основанию. Так устроены ведро, абажур, воронка и стакан. У него два основания разного радиуса, и формулы свои:

l = √((R − r)² + h²), S бок = π · (R + r) · l, S полн = S бок + π · R² + π · r²

Образующая здесь считается не от радиуса, а от разности радиусов: боковая стенка наклонена ровно на эту разность. Проверить формулу просто: при r = 0 усечённый конус превращается в обычный, а при R = r - в цилиндр, и обе формулы дают тот же ответ, что и калькуляторы этих фигур.

Развёртка и угол сектора

Если боковую поверхность разрезать по образующей и разложить на плоскости, получится круговой сектор радиуса l. Угол этого сектора находится так:

α = 360° · r / l

Число нужно на практике чаще, чем кажется: по нему кроят жестяной колпак, бумажную шапку или воронку. При радиусе 3 и образующей 5 угол равен 216°, то есть заготовка - это круг радиусом 5 с вырезанным клином в 144°. Калькулятор показывает угол развёртки в каждом расчёте.

Обратная задача: известна площадь

Бывает наоборот: площадь задана - например, известен расход материала, - и нужно восстановить размеры. Из формулы полной поверхности выражается образующая:

l = S / (π · r) − r

Дальше по образующей и радиусу находится высота. Такого режима нет у большинства калькуляторов из первой десятки выдачи: они считают только вперёд, от размеров к площади.

Где пригодится

• Школа и вуз - стереометрия, задачи на поверхность тел вращения, подготовка к экзамену.
• Раскрой материала - жесть на колпак дымохода, ткань на абажур, картон на воронку: нужна боковая поверхность и угол развёртки.
• Стройка - площадь окраски конической крыши башни или силосной ёмкости.
• Производство - расход покрытия на конические детали, бункеры и воронки.

Если нужен не расход материала, а вместимость, считайте объём конуса: калькулятор выше выводит его дополнительной строкой.

Единицы измерения и округление

Все размеры вводятся в одной единице, площадь получается в её квадратах, объём - в кубах: ввели сантиметры, ответ будет в см² и см³. Смешивать нельзя, переведите размеры к одному виду заранее.

Поля принимают запятую и обыкновенную дробь: 3,5 и 7/2 - одно и то же число. Точность вывода задаётся отдельно, от целого до шести знаков, на промежуточные вычисления она не влияет.

Число π берётся полное, а не округлённое до 3,14 или 3,142. Разница заметна уже на школьном примере: при радиусе 3 и образующей 4 боковая поверхность равна 37,699, а с округлённым π получается 37,704. Мы проверили калькуляторы из топа выдачи и такое расхождение там встречается.

Как рассчитать площадь поверхности конуса

1. Выберите в списке «Что известно» подходящий набор: радиус с высотой, радиус с образующей, диаметр с высотой, усечённый конус или площадь с радиусом.
2. Введите значения в одной единице измерения. Поля принимают запятую и обыкновенную дробь вида 7/2.
3. Задайте единицу измерения и число знаков после запятой.
4. Получите боковую, полную площадь и основание, объём, образующую и высоту, угол развёртки и ход решения с подстановкой чисел.

Частые вопросы

Чем боковая поверхность отличается от полной?

Боковая - это только конический бок без круга снизу, она считается как π·r·l. Полная включает ещё и основание: π·r·(r + l). Для колпака или воронки нужна боковая, для закрытой ёмкости - полная.

Что подставлять, если известна только высота?

Одной высоты мало: нужен ещё радиус или диаметр основания. Из радиуса и высоты образующая находится по теореме Пифагора, и дальше считается всё остальное.

Почему нельзя подставить высоту вместо образующей?

Потому что боковая поверхность разворачивается в сектор радиусом l, а не h. Высота идёт внутри конуса, образующая - по его боку и всегда длиннее. Подстановка высоты занижает площадь: при r = 3 и h = 4 получится 37,70 вместо правильных 47,12.

Как посчитать площадь усечённого конуса?

Выберите режим «Усечённый конус» и введите нижний радиус, верхний радиус и высоту. Образующая там считается от разности радиусов, а полная площадь складывается из боковой поверхности и двух кругов.

Какой угол развёртки у конуса?

Угол сектора равен 360° · r / l. При радиусе 3 и образующей 5 это 216°. Калькулятор выводит угол в каждом расчёте, отдельно считать не нужно.

---

Источники

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов - формулы поверхности и объёма конуса и усечённого конуса.
• Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы - вывод формулы боковой поверхности через развёртку.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров - тела вращения и их характеристики.