Калькулятор решения уравнений

Уравнение - равенство с неизвестным. Решить его значит найти все значения x, при которых равенство верно; такие значения называют корнями.

Калькулятор решает двенадцать типов уравнений. Выберите тип, введите коэффициенты - под ответом появится ход решения по шагам, проверка подстановкой и график с отмеченными корнями. Дробь вводится как «3/4», отрицательное число - со знаком минус, запятая и точка равнозначны.

Двенадцать типов уравнений

Тип задаёт не только формулу, но и набор полей: у линейного их два, у системы шесть. Необязательное поле можно оставить пустым - калькулятор считает его нулём, поэтому x² − 4 = 0 вводится без коэффициента b.

Дискриминант и теорема Виета

Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решают через дискриминант D = b² − 4ac. Его знак сразу говорит, сколько корней:

• D больше нуля - два корня по формуле x = (−b ± √D) / 2a. У x² − 5x + 6 = 0 дискриминант равен 1, корни 2 и 3.
• D равен нулю - один корень x = −b / 2a, его называют двукратным. У x² + 2x + 1 = 0 это x = −1, парабола касается оси x в одной точке.
• D меньше нуля - действительных корней нет: парабола не пересекает ось x. Калькулятор в этом случае показывает пару сопряжённых комплексных корней, например ±2i для x² + 4 = 0.

Теорема Виета связывает корни с коэффициентами: x₁ + x₂ = −b/a и x₁ · x₂ = c/a. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 это сумма −p и произведение q, что даёт быструю проверку в уме: корни 2 и 3 дают сумму 5 и произведение 6, значит уравнение x² − 5x + 6 = 0 решено верно. Калькулятор выводит обе величины отдельной строкой вместе с разложением на множители.

Если старший коэффициент оказался нулевым, уравнение перестаёт быть квадратным. Степень понижается до линейной, и об этом сказано в результате отдельной строкой - иначе ответ выглядит странно: полей три, а корень один.

Кубические, биквадратные и xⁿ = a

Кубическое уравнение решается по формуле Кардано: сначала подстановка x = y − b/3a убирает квадратный член, затем по знаку дискриминанта выбирается ветвь. При положительном - один действительный корень, при отрицательном все три корня действительны и считаются через тригонометрическую формулу Виета. Найденные значения уточняются одним шагом метода Ньютона, поэтому проверка подстановкой сходится до последнего знака. Пример: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 даёт 1, 2 и 3.

Биквадратное уравнение ax⁴ + bx² + c = 0 сводится заменой t = x², дальше идёт обычный дискриминант. Каждый положительный корень t даёт пару ±√t, отрицательный не даёт ничего. У x⁴ − 5x² + 4 = 0 корни ±1 и ±2, четыре штуки.

Уравнение xⁿ = a решается корнем степени n. Чётная степень при положительном a даёт два корня и ни одного при отрицательном: x⁴ = 16 - это ±2, а x⁴ = −16 не имеет действительных решений. Нечётная степень даёт ровно один корень с тем же знаком, что у правой части: x³ = −27 - это −3.

ОДЗ и посторонние корни

Три типа уравнений требуют проверки найденного корня, иначе ответ будет формально верным и неправильным по существу.

• Дробно-рациональное. Знаменатель не может быть нулём. Уравнение (x − 3)/(x − 3) = 5 после умножения крест-накрест даёт x = 3, но при этом значении знаменатель обнуляется, корень посторонний, ответ - корней нет.
• Иррациональное. Возведение обеих частей в квадрат добавляет корни. Правая часть корня не бывает отрицательной, и подкоренное выражение должно быть неотрицательным: у √(x + 7) = 3 корень x = 2, а у √(x + 7) = −3 решений нет вовсе.
• С модулем. Уравнение |ax + b| = c распадается на два случая: ax + b = c и ax + b = −c. При c больше нуля корня два, при c равном нулю один, при отрицательном c решений нет - модуль не бывает отрицательным.

Логарифмическое уравнение log_b(ax + c) = d проверяется по своим условиям: основание положительно и не равно единице, а выражение под логарифмом строго больше нуля. Показательное a · b^x = c требует положительного основания; если после деления правая часть выходит отрицательной или нулевой, решения нет. Калькулятор проверяет эти условия до расчёта и объясняет отказ словами, а не пустым полем.

Системы двух уравнений

Система с двумя неизвестными решается по правилу Крамера через три определителя: главный Δ = a₁b₂ − a₂b₁ и два вспомогательных. Ответ x = Δ_x/Δ, y = Δ_y/Δ существует, только когда главный определитель не равен нулю. Для системы 2x + 3y = 13 и x − y = −1 определитель равен −5, решение x = 2, y = 3.

Нулевой главный определитель означает, что прямые параллельны или совпали. В первом случае решений нет, во втором их бесконечно много - калькулятор различает эти случаи и рисует обе прямые на графике, чтобы разница была видна глазом.

Систему из трёх и более уравнений считают методом Гаусса или методом Крамера, а действия с самими матрицами - в калькуляторе матриц. Разбор системы двух уравнений четырьмя способами, включая подстановку и сложение, лежит на странице калькулятора систем.

Частые ошибки в решении

• Потерянный корень при делении на x. Уравнение x² = 5x после деления на x даёт x = 5, а корень x = 0 пропадает. Делить на выражение с неизвестным нельзя - надо разложить на множители.
• Знак свободного члена. В x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b равен −5, а не 5. Ошибка в знаке меняет дискриминант и весь ответ.
• Дискриминант посчитан без учёта знака c. При отрицательном c произведение −4ac становится положительным и дискриминант растёт: у x² + x − 6 = 0 это 1 + 24 = 25.
• Забытая ОДЗ. В дробном и логарифмическом уравнении найденный корень проверяют подстановкой в исходное уравнение, а не в преобразованное.
• Посторонний корень после возведения в квадрат. Переход от √A = B к A = B² добавляет решения, если B меньше нуля.
• Ответ без всех корней. Биквадратное уравнение даёт до четырёх корней, кубическое - до трёх. Один найденный корень не закрывает задачу.

Часто задаваемые вопросы

Как решить уравнение через дискриминант?

Привести к виду ax² + bx + c = 0, посчитать D = b² − 4ac и подставить в формулу x = (−b ± √D) / 2a. При D меньше нуля действительных корней нет.

Сколько корней у квадратного уравнения?

Два при положительном дискриминанте, один при нулевом и ни одного среди действительных чисел при отрицательном.

Что такое посторонний корень?

Значение, которое получилось после преобразования, но не подходит исходному уравнению: обнуляет знаменатель, уходит из области определения корня или логарифма. Такой корень вычёркивают из ответа.

Как решить уравнение с дробями?

Выбрать тип «Дробно-рациональное» и ввести коэффициенты числителя и знаменателя. Калькулятор умножает крест-накрест, находит корень и проверяет его по знаменателю.

Можно ли вводить дроби в поля?

Да, запись вида 3/4 понимается как 0,75. Десятичную часть можно писать через запятую или точку, отрицательные значения - со знаком минус.

Как решить систему двух уравнений?

Привести оба к виду ax + by = c и ввести шесть коэффициентов. Ответ считается по правилу Крамера, а прямые рисуются на графике - точка их пересечения и есть решение.

Показывает ли калькулятор ход решения?

Да, под ответом идут шаги с подстановкой чисел, а последней строкой - проверка: найденный корень подставляется обратно в уравнение.

Считает ли калькулятор комплексные корни?

Для квадратного уравнения при отрицательном дискриминанте выводится пара сопряжённых комплексных корней. Остальные типы дают только действительные решения.

Источники информации

• Уравнение - определение и виды, Википедия.
• Формула Кардано - решение кубического уравнения.
• Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. - М.: Высшая школа.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука.

---