Калькулятор решает системы линейных уравнений шестью способами: методом Гаусса, методом Гаусса-Жордана, методом Крамера, матричным методом, методом подстановки и методом алгебраического сложения. Систему можно записать уравнениями прямо как в тетради или задать таблицей коэффициентов. В ответе не только значения неизвестных, но и ранг матрицы системы, ранг расширенной матрицы, тип системы, определитель, ход решения с преобразованиями и проверка подстановкой. Для системы с двумя неизвестными строится график: две прямые и точка их пересечения.
Что такое система линейных уравнений
Линейное уравнение содержит неизвестные только в первой степени: без квадратов, корней, синусов и произведений неизвестных друг на друга. Несколько таких уравнений, которые должны выполняться одновременно, образуют систему. Решить её значит найти набор значений, при котором верно каждое уравнение сразу.
Систему принято записывать в матричном виде A · x = b, где A — матрица коэффициентов при неизвестных, x — столбец неизвестных, b — столбец свободных членов. Матрицу A, дополненную столбцом b, называют расширенной. Именно сравнение этих двух матриц отвечает на вопрос, есть ли у системы решение.
У системы ровно три исхода, и решает их сравнение рангов
Каких-то других вариантов не бывает, и это доказанный факт, а не наблюдение.
- Единственное решение. Ранг матрицы системы равен рангу расширенной и равен числу неизвестных. Система называется совместной определённой.
- Бесконечно много решений. Ранги равны между собой, но меньше числа неизвестных. Система совместная неопределённая: часть переменных становится свободной и принимает любые значения, остальные выражаются через них.
- Решений нет. Ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы. Система несовместна: уравнения противоречат друг другу.
Это и есть теорема Кронекера-Капелли: система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы. Калькулятор показывает оба ранга отдельными строками, поэтому ответ «решений нет» не приходится принимать на веру.
Признак несовместности виден и без рангов: если после преобразований появляется строка вида 0 = 5, дальше считать нечего. Калькулятор выписывает такую строку и говорит, из какого уравнения она получилась.
Методы решения и когда какой применим
| Метод | Когда работает | Что даёт |
| Гаусса | Любая система, в том числе прямоугольная | Ступенчатый вид, ранг, все три исхода |
| Гаусса-Жордана | Любая система | Единичный вид по базисным столбцам, ответ сразу |
| Крамера | Только квадратная с ненулевым определителем | Каждое неизвестное как отношение определителей |
| Матричный | Только квадратная с ненулевым определителем | x = A⁻¹ · b через обратную матрицу |
| Подстановки | Школьный способ, удобен для двух неизвестных | Выражение одной переменной через другую |
| Сложения | Школьный способ для двух неизвестных | Уравнивание коэффициентов и исключение переменной |
Важное ограничение, о котором калькуляторы обычно молчат: методы Крамера и матричный работают не всегда. Им нужна квадратная система, где число уравнений совпадает с числом неизвестных, и ненулевой определитель. Если выбрать такой метод для системы 2 × 3 или для системы с нулевым определителем, наш калькулятор не подменит его молча: он скажет, почему метод не подошёл, и разберёт систему методом Гаусса-Жордана.
Метод Гаусса по шагам
Метод состоит из двух ходов. Прямой ход приводит матрицу к ступенчатому виду: ниже главной диагонали остаются нули. Обратный ход идёт снизу вверх и находит неизвестные одно за другим. Метод Гаусса-Жордана добавляет к этому обнуление и над диагональю, поэтому ответ читается прямо из матрицы без обратного хода.
Разрешены ровно три элементарных преобразования, и ни одно из них не меняет решений системы:
- переставить два уравнения местами;
- умножить уравнение на число, не равное нулю;
- прибавить к одному уравнению другое, умноженное на любое число.
Калькулятор выписывает каждое выполненное преобразование словами: «из строки 2 вычитаем строку 1, умноженную на 3». Это тот самый ход решения, который просят записать в тетради.
Разбор с матрицей после каждого столбца и пошаговым обратным ходом лежит на отдельной странице: метод Гаусса онлайн. Там же переключается вариант Гаусса-Жордана.
Метод Крамера через определители
Для квадратной системы считается главный определитель Δ матрицы коэффициентов. Затем для каждого неизвестного составляется свой определитель Δᵢ: в матрице заменяется i-й столбец на столбец свободных членов. Неизвестное равно отношению xᵢ = Δᵢ / Δ.
Условие применимости жёсткое: Δ ≠ 0. Если главный определитель равен нулю, система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много, и правило Крамера неприменимо в обоих случаях. Калькулятор показывает все определители по очереди, поэтому решение можно переписать целиком.
Раскрытие каждого определителя, правило Саррюса для третьего порядка и разложение по первой строке для порядка выше показаны на отдельной странице: метод Крамера онлайн.
Два школьных способа: подстановка и сложение
В седьмом классе систему из двух уравнений решают двумя приёмами, и калькулятор расписывает оба именно так, как их требуют в тетради.
Метод подстановки. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение во второе уравнение. Остаётся уравнение с одной неизвестной, а найденное значение возвращают в первое.
Метод сложения, его же называют методом алгебраического сложения. Уравнения умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали одинаковыми, а потом вычитают одно уравнение из другого — переменная исчезает.
Множители калькулятор подбирает по наименьшему общему кратному, а не перемножением коэффициентов. Для 4x и 6x он умножит уравнения на 3 и на 2, приведя оба к 12x, а не на 6 и на 4 с результатом 24x: числа в разборе остаются такими, какие получились бы при решении вручную.
Оба способа расписываются для двух неизвестных. При большем их числе и подстановка, и сложение превращаются в метод Гаусса: то же последовательное исключение переменных, только записанное матрицей. Калькулятор говорит об этом прямо, а не печатает матричные преобразования под школьным заголовком.
Почему ответ обыкновенной дробью, а не десятичной
Это не оформительская мелочь, а вопрос правильности. Внутри калькулятор считает не десятичными числами, а обыкновенными дробями с целыми числителем и знаменателем произвольной длины. Причина в том, как метод Гаусса ведёт себя на числах с плавающей точкой: вместо точного нуля там получается 0,00000000000000002, строка считается ненулевой, ранг определяется неверно, и совместная система объявляется несовместной.
На дробях такого не бывает: ноль там ровно ноль, ранг точен, а тип системы определяется без оговорок. Побочная выгода в том, что ответ выходит школьным: 7/3, а не 2,3333333. Десятичное приближение показывается рядом мелким шрифтом, а если удобнее наоборот, в списке «Ответ» есть переключатель.
Как записать систему в калькулятор
Есть два способа ввода, и они равноправны.
Уравнениями. По одному уравнению в строке, как в тетради. Калькулятор понимает запись без знака умножения (2x), со звёздочкой (2*x), с десятичной дробью через запятую или точку (0,5y), с обыкновенной дробью (1/3z) и с делением переменной (x/2). Неизвестные определяются сами по буквам, порядок слагаемых любой, а часть слагаемых может стоять справа от знака равенства: 2x + 1 = y + 4 разбирается правильно.
Таблицей коэффициентов. Если система уже приведена к матричному виду, удобнее вписать числа в клетки: строка это уравнение, последний столбец это свободные члены. Пустая клетка считается нулём, неизвестные называются x₁, x₂ и так далее.
Ответ появляется сразу при вводе, кнопка «Решить» нужна только чтобы проверить, всё ли заполнено.
График: что означает пересечение прямых
Каждое уравнение с двумя неизвестными задаёт на плоскости прямую. Решение системы это множество общих точек всех прямых, и три исхода получают наглядный смысл:
- прямые пересекаются в одной точке — единственное решение;
- прямые параллельны и не совпадают — решений нет;
- прямые совпали — решений бесконечно много.
Калькулятор строит этот график сам по введённым уравнениям и отмечает точку пересечения с её координатами. Для трёх неизвестных картинка была бы трёхмерной: там каждое уравнение задаёт плоскость, а решение это множество их общих точек: одна точка, прямая, плоскость или ни одной точки.
Чего калькулятор не делает
Он решает линейные системы: неизвестные только в первой степени. Систему с квадратами, произведениями неизвестных, корнями или тригонометрией он не возьмёт и честно об этом скажет, а не выдаст правдоподобное неверное число.
Если в системе одно уравнение квадратное, отдельно решить его поможет калькулятор квадратных уравнений, а действия с самими матрицами — калькулятор матриц, где есть определитель, обратная матрица, ранг и LU-разложение. Число неизвестных здесь ограничено восемью при вводе уравнениями и шестью при вводе таблицей коэффициентов: этого хватает для школы и типовых заданий по линейной алгебре.