Калькулятор систем уравнений

Калькулятор решает системы линейных уравнений шестью способами: методом Гаусса, методом Гаусса-Жордана, методом Крамера, матричным методом, методом подстановки и методом алгебраического сложения. Систему можно записать уравнениями прямо как в тетради или задать таблицей коэффициентов. В ответе не только значения неизвестных, но и ранг матрицы системы, ранг расширенной матрицы, тип системы, определитель, ход решения с преобразованиями и проверка подстановкой. Для системы с двумя неизвестными строится график: две прямые и точка их пересечения.

Что такое система линейных уравнений

Линейное уравнение содержит неизвестные только в первой степени: без квадратов, корней, синусов и произведений неизвестных друг на друга. Несколько таких уравнений, которые должны выполняться одновременно, образуют систему. Решить её значит найти набор значений, при котором верно каждое уравнение сразу.

Систему принято записывать в матричном виде A · x = b, где A - матрица коэффициентов при неизвестных, x - столбец неизвестных, b - столбец свободных членов. Матрицу A, дополненную столбцом b, называют расширенной. Именно сравнение этих двух матриц отвечает на вопрос, есть ли у системы решение.

У системы ровно три исхода, и решает их сравнение рангов

Каких-то других вариантов не бывает, и это доказанный факт, а не наблюдение.

• Единственное решение. Ранг матрицы системы равен рангу расширенной и равен числу неизвестных. Система называется совместной определённой.
• Бесконечно много решений. Ранги равны между собой, но меньше числа неизвестных. Система совместная неопределённая: часть переменных становится свободной и принимает любые значения, остальные выражаются через них.
• Решений нет. Ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы. Система несовместна: уравнения противоречат друг другу.

Это и есть теорема Кронекера-Капелли: система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы. Калькулятор показывает оба ранга отдельными строками, поэтому ответ «решений нет» не приходится принимать на веру.

Признак несовместности виден и без рангов: если после преобразований появляется строка вида 0 = 5, дальше считать нечего. Калькулятор выписывает такую строку и говорит, из какого уравнения она получилась.

Методы решения и когда какой применим

Метод	Когда работает	Что даёт
Гаусса	Любая система, в том числе прямоугольная	Ступенчатый вид, ранг, все три исхода
Гаусса-Жордана	Любая система	Единичный вид по базисным столбцам, ответ сразу
Крамера	Только квадратная с ненулевым определителем	Каждое неизвестное как отношение определителей
Матричный	Только квадратная с ненулевым определителем	x = A⁻¹ · b через обратную матрицу
Подстановки	Школьный способ, удобен для двух неизвестных	Выражение одной переменной через другую
Сложения	Школьный способ для двух неизвестных	Уравнивание коэффициентов и исключение переменной

Важное ограничение, о котором калькуляторы обычно молчат: методы Крамера и матричный работают не всегда. Им нужна квадратная система, где число уравнений совпадает с числом неизвестных, и ненулевой определитель. Если выбрать такой метод для системы 2 × 3 или для системы с нулевым определителем, наш калькулятор не подменит его молча: он скажет, почему метод не подошёл, и разберёт систему методом Гаусса-Жордана.

Метод Гаусса по шагам

Метод состоит из двух ходов. Прямой ход приводит матрицу к ступенчатому виду: ниже главной диагонали остаются нули. Обратный ход идёт снизу вверх и находит неизвестные одно за другим. Метод Гаусса-Жордана добавляет к этому обнуление и над диагональю, поэтому ответ читается прямо из матрицы без обратного хода.

Разрешены ровно три элементарных преобразования, и ни одно из них не меняет решений системы:

1. переставить два уравнения местами;
2. умножить уравнение на число, не равное нулю;
3. прибавить к одному уравнению другое, умноженное на любое число.

Калькулятор выписывает каждое выполненное преобразование словами: «из строки 2 вычитаем строку 1, умноженную на 3». Это тот самый ход решения, который просят записать в тетради.

Разбор с матрицей после каждого столбца и пошаговым обратным ходом лежит на отдельной странице: метод Гаусса онлайн. Там же переключается вариант Гаусса-Жордана.

Метод Крамера через определители

Для квадратной системы считается главный определитель Δ матрицы коэффициентов. Затем для каждого неизвестного составляется свой определитель Δᵢ: в матрице заменяется i-й столбец на столбец свободных членов. Неизвестное равно отношению xᵢ = Δᵢ / Δ.

Условие применимости жёсткое: Δ ≠ 0. Если главный определитель равен нулю, система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много, и правило Крамера неприменимо в обоих случаях. Калькулятор показывает все определители по очереди, поэтому решение можно переписать целиком.

Раскрытие каждого определителя, правило Саррюса для третьего порядка и разложение по первой строке для порядка выше показаны на отдельной странице: метод Крамера онлайн.

Два школьных способа: подстановка и сложение

В седьмом классе систему из двух уравнений решают двумя приёмами, и калькулятор расписывает оба именно так, как их требуют в тетради.

Метод подстановки. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение во второе уравнение. Остаётся уравнение с одной неизвестной, а найденное значение возвращают в первое.

Метод сложения, его же называют методом алгебраического сложения. Уравнения умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали одинаковыми, а потом вычитают одно уравнение из другого - переменная исчезает.

Множители калькулятор подбирает по наименьшему общему кратному, а не перемножением коэффициентов. Для 4x и 6x он умножит уравнения на 3 и на 2, приведя оба к 12x, а не на 6 и на 4 с результатом 24x: числа в разборе остаются такими, какие получились бы при решении вручную.

Оба способа расписываются для двух неизвестных. При большем их числе и подстановка, и сложение превращаются в метод Гаусса: то же последовательное исключение переменных, только записанное матрицей. Калькулятор говорит об этом прямо, а не печатает матричные преобразования под школьным заголовком.

Почему ответ обыкновенной дробью, а не десятичной

Это не оформительская мелочь, а вопрос правильности. Внутри калькулятор считает не десятичными числами, а обыкновенными дробями с целыми числителем и знаменателем произвольной длины. Причина в том, как метод Гаусса ведёт себя на числах с плавающей точкой: вместо точного нуля там получается 0,00000000000000002, строка считается ненулевой, ранг определяется неверно, и совместная система объявляется несовместной.

На дробях такого не бывает: ноль там ровно ноль, ранг точен, а тип системы определяется без оговорок. Побочная выгода в том, что ответ выходит школьным: 7/3, а не 2,3333333. Десятичное приближение показывается рядом мелким шрифтом, а если удобнее наоборот, в списке «Ответ» есть переключатель.

Как записать систему в калькулятор

Есть два способа ввода, и они равноправны.

Уравнениями. По одному уравнению в строке, как в тетради. Калькулятор понимает запись без знака умножения (2x), со звёздочкой (2*x), с десятичной дробью через запятую или точку (0,5y), с обыкновенной дробью (1/3z) и с делением переменной (x/2). Неизвестные определяются сами по буквам, порядок слагаемых любой, а часть слагаемых может стоять справа от знака равенства: 2x + 1 = y + 4 разбирается правильно.

Таблицей коэффициентов. Если система уже приведена к матричному виду, удобнее вписать числа в клетки: строка это уравнение, последний столбец это свободные члены. Пустая клетка считается нулём, неизвестные называются x₁, x₂ и так далее.

Ответ появляется сразу при вводе, кнопка «Решить» нужна только чтобы проверить, всё ли заполнено.

График: что означает пересечение прямых

Каждое уравнение с двумя неизвестными задаёт на плоскости прямую. Решение системы это общая точка всех прямых, и три исхода получают наглядный смысл:

• прямые пересекаются в одной точке - единственное решение;
• прямые параллельны и не совпадают - решений нет;
• прямые совпали - решений бесконечно много.

Калькулятор строит этот график сам по введённым уравнениям и отмечает точку пересечения с её координатами. Для трёх неизвестных картинка была бы трёхмерной: там каждое уравнение задаёт плоскость, а решение это их общая точка.

Чего калькулятор не делает

Он решает линейные системы: неизвестные только в первой степени. Систему с квадратами, произведениями неизвестных, корнями или тригонометрией он не возьмёт и честно об этом скажет, а не выдаст правдоподобное неверное число.

Если в системе одно уравнение квадратное, отдельно решить его поможет калькулятор квадратных уравнений, а действия с самими матрицами - калькулятор матриц, где есть определитель, обратная матрица, ранг и LU-разложение. Число неизвестных здесь ограничено восемью: этого хватает для школы и типовых заданий по линейной алгебре.

Частые вопросы о системах уравнений

Как решить систему уравнений онлайн?

Запишите уравнения по одному в строке, например «2x + 3y = 5» и «x - y = 1». Калькулятор сам определит неизвестные, решит систему и покажет ход решения. Способ можно выбрать: Гаусса, Гаусса-Жордана, Крамера, матричный или подстановки.

Как понять, что система не имеет решений?

По теореме Кронекера-Капелли: если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов, решений нет. На практике это видно по строке вида 0 = 5, которая появляется после преобразований. Калькулятор показывает оба ранга и такую строку.

Когда у системы бесконечно много решений?

Когда ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны между собой, но меньше числа неизвестных. Разность между числом неизвестных и рангом показывает, сколько переменных будут свободными. Калькулятор выписывает общее решение через эти свободные переменные.

Чем метод Гаусса отличается от метода Гаусса-Жордана?

Метод Гаусса обнуляет элементы только под главной диагональю, а неизвестные потом находят обратным ходом снизу вверх. Метод Гаусса-Жордана обнуляет и над диагональю, поэтому ответ читается прямо из матрицы без обратного хода.

Почему метод Крамера не всегда подходит?

Ему нужна квадратная система, где число уравнений равно числу неизвестных, и ненулевой главный определитель. При Δ = 0 система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений, и отношение Δᵢ / Δ теряет смысл.

Как решить систему методом сложения?

Умножьте уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной сравнялись, и вычтите одно из другого - переменная исчезнет. Выберите в списке способов «Метод сложения»: калькулятор подберёт множители по наименьшему общему кратному и распишет каждый шаг.

Можно ли решать системы с дробными коэффициентами?

Да. Калькулятор принимает десятичные дроби через запятую или точку (0,5x) и обыкновенные дроби (1/3y, x/2). Внутри всё считается точными дробями, поэтому округления не накапливаются.

Сколько неизвестных выдерживает калькулятор?

До восьми. Число уравнений может не совпадать с числом неизвестных: прямоугольные системы разбираются методом Гаусса так же, как квадратные.

Решает ли калькулятор нелинейные системы?

Нет. Неизвестные должны быть в первой степени, без квадратов, корней и произведений друг на друга. Для квадратного уравнения есть отдельный калькулятор.

Что показывает график под калькулятором?

Для системы с двумя неизвестными каждое уравнение это прямая на плоскости. Точка пересечения прямых и есть решение. Если прямые параллельны, решений нет, если совпали - решений бесконечно много.

---

Источники

• Система линейных алгебраических уравнений - постановка задачи и матричная запись, Википедия.
• Теорема Кронекера-Капелли - критерий совместности системы, Википедия.
• Метод Гаусса - прямой и обратный ход, элементарные преобразования, Википедия.
• Метод Гаусса-Жордана - приведение к единичному виду, Википедия.
• Метод Крамера - формулы через определители и условия применимости, Википедия.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. - М.: Физматлит.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. - М.: Физматлит.

Калькулятор предназначен для учебных и справочных расчётов. Для задач вычислительной математики с плохо обусловленными матрицами нужны специальные методы и оценка погрешности.