Калькулятор матриц

Калькулятор матриц онлайн выполняет двенадцать действий: сложение, вычитание, умножение матриц, умножение на число, транспонирование, определитель, обратную матрицу, ранг, след, возведение в степень, приведение к ступенчатому виду и решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Для каждого действия он показывает не только ответ, но и решение по шагам. Числа можно вводить целыми, десятичными или обыкновенными дробями, а результат по умолчанию выводится точно — обыкновенной дробью без округления.

Как пользоваться калькулятором матриц

Выберите в списке «Операция» нужное действие. Задайте размер матрицы A (число строк и столбцов), а для действий с двумя матрицами — ещё и размер B. Заполните ячейки числами и нажмите «Рассчитать». Калькулятор выведет результат, а по кнопке «Показать решение по шагам» раскроет промежуточные вычисления. Кнопка «Очистить» сбрасывает поля.

• В ячейки можно вводить целые числа, десятичные (1,5 или -0.25) и обыкновенные дроби (3/4).
• Размер матриц — до 8×8.
• Формат ответа переключается между обыкновенной и десятичной дробью; для десятичной задаётся число знаков округления.

Что такое матрица

Матрица — это прямоугольная таблица чисел, записанная в m строк и n столбцов. Её размер обозначают m×n, а число на пересечении i-й строки и j-го столбца — элемент a_ij. Если строк столько же, сколько столбцов, матрица называется квадратной; её элементы a₁₁, a₂₂, …, a_nn образуют главную диагональ. Квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а вне её — нули, называют единичной и обозначают E. Матрицы используют в линейной алгебре, аналитической геометрии, физике, программировании и экономике — везде, где данные удобно хранить в виде таблицы и преобразовывать по единым правилам.

Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера. Действие выполняется поэлементно: c_ij = a_ij ± b_ij. Например, чтобы сложить две матрицы 2×2, складывают числа, стоящие на одинаковых позициях. Результат имеет тот же размер, что и исходные матрицы.

Умножение матриц

Произведение A × B существует, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Элемент результата c_ij равен сумме произведений i-й строки A на j-й столбец B: c_ij = a_i1·b_1j + a_i2·b_2j + … + a_ik·b_kj. Размер произведения — (строки A)×(столбцы B). Умножение матриц не коммутативно: в общем случае A × B ≠ B × A.

Умножение матрицы на число

При умножении на число (скаляр) k каждый элемент матрицы умножается на это число: b_ij = k · a_ij. Размер матрицы не меняется. Так, умножение на 2 удваивает все элементы, а умножение на 1/2 — делит их пополам.

Транспонирование матрицы

При транспонировании строки матрицы становятся столбцами, а столбцы — строками: aᵀ_ij = a_ji. Матрица размера m×n превращается в матрицу n×m. Транспонирование применяют при вычислении обратной матрицы, в методе наименьших квадратов и при работе с симметричными матрицами.

Определитель матрицы

Определитель (детерминант) — это число, которое можно вычислить только для квадратной матрицы; его обозначают det(A) или |A|. Для матрицы 2×2: det(A) = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁. Для 3×3 удобно правило треугольников. Для матриц большего порядка применяют разложение по строке или столбцу либо приведение к треугольному виду. Определитель показывает, вырождена матрица или нет: если det(A) = 0, у матрицы нет обратной, а столбцы линейно зависимы.

Обратная матрица

Обратная матрица A⁻¹ — это такая матрица, что A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E. Она существует только у квадратной невырожденной матрицы, то есть при det(A) ≠ 0. Калькулятор находит её методом Гаусса–Жордана: к матрице A приписывают единичную и приводят пару [A | E] к виду [E | A⁻¹]. Обратная матрица нужна для решения матричных уравнений и систем линейных уравнений.

Ранг матрицы

Ранг — это максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) матрицы. Чтобы его найти, матрицу приводят элементарными преобразованиями к ступенчатому виду и считают число ненулевых строк. Ранг определён для матрицы любого размера, в том числе прямоугольной, и применяется при исследовании совместности систем уравнений по теореме Кронекера–Капелли.

След матрицы

След матрицы (обозначают tr(A)) — это сумма элементов её главной диагонали: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + … + a_nn. Он определён только для квадратной матрицы. След не меняется при транспонировании и обладает свойством tr(A + B) = tr(A) + tr(B).

Возведение матрицы в степень

В целую степень n возводят только квадратную матрицу: Aⁿ — это произведение n одинаковых множителей A · A · … · A. По определению A⁰ = E, а A¹ = A. Отрицательная степень определяется через обратную матрицу: A⁻ⁿ = (A⁻¹)ⁿ, поэтому она существует только при det(A) ≠ 0.

Решение системы уравнений (СЛАУ) методом Гаусса

Систему линейных уравнений записывают в матричном виде A·x = b, где A — матрица коэффициентов, b — столбец свободных членов. Калькулятор решает её методом Гаусса: приводит расширенную матрицу [A | b] к ступенчатому виду (прямой ход), затем находит неизвестные (обратный ход). Система может иметь единственное решение, не иметь решений (несовместна) или иметь бесконечно много решений — калькулятор определяет этот случай по рангу матрицы.

Таблица операций и формул

В таблице собраны формулы и условия применимости основных действий калькулятора: по ней удобно вспомнить правило или проверить, выполнима ли операция для матриц выбранного размера.

---

Источники

Определения и правила действий с матрицами соответствуют курсу линейной алгебры и аналитической геометрии:

• Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра» — главы «Матрицы и определители», «Обратная матрица», «Ранг матрицы».
• Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры» — действия с матрицами, определители.
• Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры».
• Федеральный перечень учебников Минпросвещения России — действующие учебники алгебры.

Частые вопросы о действиях с матрицами

Что такое матрица?

Матрица — это прямоугольная таблица чисел из m строк и n столбцов. Её размер записывают как m×n, а элемент на пересечении i-й строки и j-го столбца обозначают aᵢⱼ. Матрицу с равным числом строк и столбцов называют квадратной.

Какие матрицы можно складывать и умножать?

Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера. Умножать матрицу A на B можно, если число столбцов A равно числу строк B; результат имеет размер (строки A)×(столбцы B).

Как найти определитель матрицы?

Для матрицы 2×2 определитель равен a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁. Для 3×3 удобно правило треугольников, для больших — разложение по строке или приведение к треугольному виду. Калькулятор показывает все шаги.

Когда у матрицы есть обратная?

Обратная матрица A⁻¹ существует только у квадратной невырожденной матрицы — то есть когда её определитель не равен нулю. Если det(A) = 0, обратной матрицы нет.

Можно ли вводить дроби?

Да. В ячейки можно вводить целые числа, десятичные дроби (например 1,5 или -0.25) и обыкновенные дроби (например 3/4). По умолчанию ответ выводится точно — обыкновенной дробью, без округления.

Калькулятор показывает решение по шагам?

Да. После расчёта нажмите «Показать решение по шагам» — калькулятор раскроет промежуточные преобразования: разложение определителя, шаги метода Гаусса–Жордана для обратной матрицы, прямой и обратный ход при решении системы.

Нужно ли платить или регистрироваться?

Нет. Калькулятор матриц бесплатный и работает без регистрации прямо в браузере — на телефоне, планшете и компьютере.