Калькулятор матриц - действия с матрицами онлайн

Калькулятор выполняет шестнадцать действий с матрицами и для каждого показывает не только ответ, но и решение по шагам. Числа вводятся целыми, десятичными или обыкновенными дробями, а результат по умолчанию выводится точно - дробью, без округления.

Как пользоваться калькулятором матриц

Выберите действие в списке «Операция», задайте размер матрицы, заполните ячейки и нажмите «Рассчитать». Под ответом раскрывается подробное решение, а кнопка «Очистить» сбрасывает поля.

• В ячейки можно вводить целые числа, десятичные (1,5 или -0.25), обыкновенные дроби (3/4) и числа в экспоненциальной форме (2.5e3). Вычисления идут в точной дробной арифметике, поэтому ошибок округления не возникает.
• Матрицу можно вставить из буфера: скопируйте таблицу из Excel или текст с числами и нажмите Ctrl+V в любой ячейке - размер подставится сам. По ячейкам удобно ходить стрелками.
• Для обратной матрицы и для систем уравнений можно отметить несколько методов сразу - решение покажется каждым из них.
• «Копировать ссылку» даёт адрес с уже введёнными числами: расчёт откроется у того, кому вы его отправите.

Что такое матрица

Матрица - это прямоугольная таблица чисел, записанная в m строк и n столбцов. Её размер обозначают m×n, а число на пересечении i-й строки и j-го столбца - элемент a_ij. Если строк столько же, сколько столбцов, матрица называется квадратной; её элементы a₁₁, a₂₂, ..., a_nn образуют главную диагональ. Квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а вне её - нули, называют единичной и обозначают E. Матрицы используют в линейной алгебре, аналитической геометрии, физике, программировании и экономике - везде, где данные удобно хранить в виде таблицы и преобразовывать по единым правилам.

Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера. Действие выполняется поэлементно: c_ij = a_ij ± b_ij. Например, чтобы сложить две матрицы 2×2, складывают числа, стоящие на одинаковых позициях. Результат имеет тот же размер, что и исходные матрицы.

Умножение матриц

Произведение A × B существует, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Элемент результата c_ij равен сумме произведений i-й строки A на j-й столбец B: c_ij = a_i1·b_1j + a_i2·b_2j + ... + a_ik·b_kj. Размер произведения - (строки A)×(столбцы B). Умножение матриц не коммутативно: в общем случае A × B ≠ B × A.

Умножение матрицы на число

При умножении на число (скаляр) k каждый элемент матрицы умножается на это число: b_ij = k · a_ij. Размер матрицы не меняется. Так, умножение на 2 удваивает все элементы, а умножение на 1/2 - делит их пополам.

Транспонирование матрицы

При транспонировании строки матрицы становятся столбцами, а столбцы - строками: aᵀ_ij = a_ji. Матрица размера m×n превращается в матрицу n×m. Транспонирование применяют при вычислении обратной матрицы, в методе наименьших квадратов и при работе с симметричными матрицами.

Определитель матрицы

Определитель (детерминант) - это число, которое можно вычислить только для квадратной матрицы; его обозначают det(A) или |A|. Для матрицы 2×2: det(A) = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁. Для 3×3 удобно правило треугольников. Для матриц большего порядка применяют разложение по строке или столбцу либо приведение к треугольному виду. Определитель показывает, вырождена матрица или нет: если det(A) = 0, у матрицы нет обратной, а столбцы линейно зависимы.

Обратная матрица

Обратная матрица A⁻¹ - это такая матрица, что A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E. Она существует только у квадратной невырожденной матрицы, то есть при det(A) ≠ 0. Калькулятор находит её двумя методами на выбор, и можно отметить оба сразу. Метод Гаусса–Жордана: к матрице A приписывают единичную и приводят пару [A | E] к виду [E | A⁻¹]. Метод союзной матрицы: считают алгебраические дополнения A_ij = (−1)^i+j · M_ij, транспонируют их в союзную матрицу adj(A) и делят на определитель: A⁻¹ = adj(A) / det(A). Ответ у обоих методов один, но ход решения разный - это удобно, когда в задании требуется конкретный способ. Обратная матрица нужна для решения матричных уравнений и систем линейных уравнений.

Ранг матрицы

Ранг - это максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) матрицы. Чтобы его найти, матрицу приводят элементарными преобразованиями к ступенчатому виду и считают число ненулевых строк. Ранг определён для матрицы любого размера, в том числе прямоугольной, и применяется при исследовании совместности систем уравнений по теореме Кронекера–Капелли.

След матрицы

След матрицы (обозначают tr(A)) - это сумма элементов её главной диагонали: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn. Он определён только для квадратной матрицы. След не меняется при транспонировании и обладает свойством tr(A + B) = tr(A) + tr(B).

Возведение матрицы в степень

В целую степень n возводят только квадратную матрицу: Aⁿ - это произведение n одинаковых множителей A · A · ... · A. По определению A⁰ = E, а A¹ = A. Отрицательная степень определяется через обратную матрицу: A⁻ⁿ = (A⁻¹)ⁿ, поэтому она существует только при det(A) ≠ 0.

Треугольный вид матрицы

Верхнетреугольной называют квадратную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. К такому виду матрицу приводят прямым ходом метода Гаусса: последовательно обнуляют элементы под ведущими. Треугольный вид удобен тем, что определитель такой матрицы равен произведению элементов главной диагонали - именно так калькулятор считает определитель матриц больших порядков. От ступенчатого вида треугольный отличается тем, что определён только для квадратной матрицы.

LU-разложение матрицы

LU-разложение представляет квадратную матрицу в виде произведения двух треугольных: A = L · U, где L - нижнетреугольная с единицами на главной диагонали, а U - верхнетреугольная. Множители, на которые умножались строки при исключении по методу Гаусса, записываются в L, а результат исключения остаётся в U. Если в ходе разложения приходится переставлять строки, результат записывают как P · A = L · U, где P - матрица перестановок; калькулятор показывает её отдельно. Разложение применяют, чтобы быстро решать несколько систем с одной и той же матрицей коэффициентов и вычислять определитель как произведение диагонали U.

Элементарные преобразования строк и столбцов

Элементарными называют три преобразования: перестановку двух строк (или столбцов), умножение строки на число, отличное от нуля, и прибавление к строке другой строки, умноженной на число. Они не меняют ранг матрицы и решения системы, поэтому лежат в основе метода Гаусса. На определитель квадратной матрицы они влияют по известным правилам: перестановка меняет знак, умножение строки на k умножает определитель на k, прибавление кратной строки его не меняет. Калькулятор выполняет любое из шести преобразований (три для строк и три для столбцов) по шагам, показывая матрицу до и после.

Вычисление матричных выражений

Кроме отдельных действий калькулятор считает целые выражения из матриц A и B, чисел и единичной матрицы E. Поддерживаются сложение, вычитание, умножение, деление на число, скобки, возведение в степень (A^2), транспонирование (A^T) и обращение (A^-1). Например, выражение 2*A+B^T удвоит матрицу A и прибавит транспонированную B, а A*A^-1 даст единичную матрицу. Порядок действий обычный: сначала степени и транспонирование, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.

Собственные значения и собственные векторы

Число λ называют собственным значением квадратной матрицы A, если найдётся ненулевой вектор x, для которого A·x = λ·x. Такой вектор называют собственным: матрица не поворачивает его, а лишь растягивает или сжимает в λ раз. Собственные значения - корни характеристического уравнения det(A − λE) = 0, где E - единичная матрица. Калькулятор составляет характеристический многочлен, находит его корни и для каждого решает однородную систему (A − λE)·x = 0, показывая базис собственных векторов.

Для матрицы 2×2 уравнение квадратное, поэтому корни находятся через дискриминант: если он отрицателен, действительных собственных значений нет (так устроена, например, матрица поворота). Для матриц большего порядка калькулятор находит рациональные корни характеристического многочлена; если часть корней иррациональна или комплексна, он сообщает об этом отдельно, потому что такие значения не выражаются обыкновенной дробью. Собственные векторы определены с точностью до множителя: любой ненулевой кратный вектор тоже будет собственным.

Решение систем линейных уравнений (СЛАУ)

Систему линейных уравнений записывают в матричном виде A·x = b, где A - матрица коэффициентов, b - столбец свободных членов. Калькулятор решает её пятью способами на выбор - можно отметить сразу несколько, и тогда под общим ответом раскроется ход решения каждым методом:

• Метод Гаусса - расширенная матрица [A | b] приводится к ступенчатому виду (прямой ход), затем неизвестные находят снизу вверх (обратный ход). Работает для любой системы, в том числе несовместной.
• Метод Гаусса-Жордана - преобразования продолжают, пока слева не останется единичная матрица; тогда решение читается прямо в последнем столбце.
• Метод Крамера - каждая неизвестная равна отношению определителей: x_i = Δ_i / Δ, где Δ_i получается заменой i-го столбца столбцом свободных членов. Применим, когда матрица квадратная и Δ ≠ 0.
• Матричный метод - решение находят как x = A⁻¹·b, обратная матрица вычисляется методом Гаусса-Жордана.
• Метод союзной матрицы - тот же матричный метод, но обратная матрица строится по формуле A⁻¹ = adj(A) / det(A), где adj(A) - транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Система может иметь единственное решение, не иметь решений (несовместна) или иметь бесконечно много решений - калькулятор определяет этот случай по рангу матрицы и сообщает, сколько переменных остаются свободными.

Таблица операций и формул

В таблице собраны формулы и условия применимости основных действий калькулятора: по ней удобно вспомнить правило или проверить, выполнима ли операция для матриц выбранного размера.

---

Источники

Определения и правила действий с матрицами соответствуют курсу линейной алгебры и аналитической геометрии:

• Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра» - главы «Матрицы и определители», «Обратная матрица», «Ранг матрицы».
• Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры» - действия с матрицами, определители.
• Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры».
• Федеральный перечень учебников Минпросвещения России - действующие учебники алгебры.

Частые вопросы о действиях с матрицами

Можно ли вводить дроби?

Да. В ячейки можно вводить целые числа, десятичные дроби (например 1,5 или -0.25), обыкновенные дроби (например 3/4) и числа в экспоненциальной форме (2.5e3). По умолчанию ответ выводится точно - обыкновенной дробью, без округления.

Калькулятор показывает решение по шагам?

Да. После расчёта нажмите «Показать решение по шагам» - калькулятор раскроет промежуточные преобразования: разложение определителя, шаги метода Гаусса–Жордана для обратной матрицы, прямой и обратный ход при решении системы.

Матрицы какого размера поддерживаются?

От 1×1 до 20×20. Вычисления идут в точной дробной арифметике на больших целых числах, поэтому длина вводимых чисел не ограничена и ошибок округления не возникает.

Какими методами решается система линейных уравнений?

Пятью: методом Гаусса, методом Гаусса–Жордана, методом Крамера, матричным методом через обратную матрицу и методом союзной матрицы. Методы отмечаются галочками, можно выбрать сразу несколько - тогда под общим ответом раскроется ход решения каждым из них.

Можно ли продолжить вычисления с полученным результатом?

Да. Под ответом есть кнопки «Вставить в A» и «Вставить в B» - они кладут результат обратно в поля ввода и сами подгоняют размер матрицы. Так можно посчитать, например, обратную матрицу, а затем умножить её на другую, не переписывая числа руками.

Как найти собственные значения и векторы?

Выберите операцию «собственные значения и векторы». Калькулятор составит характеристический многочлен det(A − λE), найдёт его корни и для каждого λ решит систему (A − λE)·x = 0, показав базис собственных векторов. Для матрицы 2×2 корни находятся через дискриминант; если он отрицателен, действительных собственных значений нет.

Можно ли вставить матрицу из Excel?

Да. Скопируйте диапазон в Excel или Google Таблицах и нажмите Ctrl+V в любой ячейке калькулятора - размер матрицы подставится автоматически. Так же вставляется обычный текст: строки разделяются переводом строки или точкой с запятой, числа - табуляцией, пробелом или запятой.

Как поделиться расчётом?

Нажмите «Копировать ссылку» под ответом - в буфер попадёт адрес страницы с вашими числами и выбранной операцией. Тот, кто откроет ссылку, сразу увидит готовый расчёт с решением. Кнопка «Копировать ответ» кладёт в буфер саму матрицу результата - её можно вставить в Excel.

Как записать матричное выражение?

В режиме «вычислить выражение» используйте обозначения A и B для матриц, E - для единичной, числа и знаки + − * / ^, а также A^T для транспонирования и A^-1 для обратной. Например: 2*A+B^T, (A+B)^2, A*A^-1.

Нужно ли платить или регистрироваться?

Нет. Калькулятор матриц бесплатный и работает без регистрации прямо в браузере - на телефоне, планшете и компьютере.

---

Другие расчёты по этой теме

• Квадратные уравнения - дискриминант и корни, следующая тема после систем уравнений.
• Системы уравнений - те же пять методов СЛАУ, но система вводится уравнениями, а не матрицей.
• Калькулятор дробей - действия с обыкновенными дробями, в которых калькулятор матриц выводит ответ.
• Калькулятор степеней - возведение числа в степень, в том числе дробную и отрицательную.
• НОД и НОК - наибольший общий делитель, нужен при сокращении дробных элементов.
• Разложение на простые множители - разложить число, чтобы упростить дробь.
• Инженерный калькулятор - корни, логарифмы и тригонометрия для промежуточных вычислений.
• Все математические калькуляторы - полный список раздела.