Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор квадратных уравнений решает уравнения вида ax² + bx + c = 0 и сразу показывает дискриминант, корни и решение по шагам. Корни выводятся точно — обыкновенной дробью или радикалом (например √7), а при отрицательном дискриминанте калькулятор находит комплексные корни. Дополнительно он проверяет ответ по теореме Виета, раскладывает трёхчлен на множители и строит график параболы. Коэффициенты можно вводить целыми, десятичными и обыкновенными дробями.

Как пользоваться калькулятором

Введите три коэффициента — a, b и c — в соответствующие поля. Коэффициент a не должен равняться нулю, иначе уравнение перестаёт быть квадратным. Над полями показывается само уравнение, чтобы вы видели, что вводите. Нажмите «Решить уравнение», и калькулятор выведет корни, дискриминант, теорему Виета, разложение на множители и вершину параболы. Кнопка «Показать решение по шагам» раскрывает подробные вычисления.

• Коэффициенты можно задавать целыми, десятичными (0,5 или -1.25) и обыкновенными дробями (3/4).
• Пустое поле b или c считается нулём — так задают неполные уравнения.
• Формат ответа переключается между точным (дробь или радикал) и десятичным с округлением.

Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — заданные числа, причём a ≠ 0. Число a называют старшим коэффициентом, b — вторым (средним) коэффициентом, c — свободным членом. Если a = 1, уравнение называют приведённым и записывают как x² + px + q = 0. Когда хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, уравнение неполное. Решить уравнение — значит найти все значения x, при которых левая часть обращается в ноль; эти значения называют корнями.

Дискриминант и число корней

Дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac. Это ключевая величина: по её знаку определяют, сколько у уравнения действительных корней, ещё до того как их находить. Графически знак дискриминанта показывает, пересекает ли парабола ось X, касается её или проходит выше (ниже) неё.

В таблице показана связь между знаком дискриминанта, числом корней и тем, как парабола расположена относительно оси X.

Формула корней квадратного уравнения

Когда дискриминант найден, корни вычисляют по формуле x = (−b ± √D) / (2a). Знак «плюс» даёт первый корень, «минус» — второй. Если D — точный квадрат, корни получаются рациональными (целыми или дробью); если нет — записываются через радикал, например x = (1 ± √7) / 2. При D = 0 формула даёт один корень x = −b / (2a). Калькулятор не округляет такие ответы, а оставляет их в точном виде — с дробью и знаком корня.

Теорема Виета

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q. В общем виде для ax² + bx + c = 0 это записывают так: x₁ + x₂ = −b/a и x₁·x₂ = c/a. Теорема Виета позволяет проверить найденные корни без подстановки в уравнение и быстро подобрать целые корни устно. Калькулятор приводит сумму и произведение корней отдельной строкой — используйте их для самопроверки.

Неполные квадратные уравнения

Если в уравнении нет какого-то слагаемого, его решают проще, без дискриминанта. Различают три случая:

• ax² + bx = 0 (c = 0): выносят x за скобку — x(ax + b) = 0, откуда x₁ = 0 и x₂ = −b/a.
• ax² + c = 0 (b = 0): выражают x² = −c/a; если правая часть неотрицательна, x = ±√(−c/a), иначе корни комплексные.
• ax² = 0 (b = 0 и c = 0): единственный корень x = 0 кратности два.

Разложение на множители и вершина параболы

Если у уравнения есть корни x₁ и x₂, квадратный трёхчлен раскладывается на множители: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Это разложение применяют при сокращении дробей и решении неравенств. График функции y = ax² + bx + c — парабола: при a > 0 её ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Координаты вершины находят по формулам x₀ = −b/(2a) и y₀ = c − b²/(4a). Корни уравнения — это точки пересечения параболы с осью X, а свободный член c — точка пересечения с осью Y.

Пример решения

Решим уравнение 2x² − 5x + 3 = 0. Сначала находим дискриминант: D = (−5)² − 4·2·3 = 25 − 24 = 1. Дискриминант положительный, значит корней два. Подставляем в формулу: x₁ = (5 + √1)/(2·2) = 6/4 = 3/2, x₂ = (5 − 1)/4 = 1. Проверим по теореме Виета: x₁ + x₂ = 3/2 + 1 = 5/2 = −b/a и x₁·x₂ = 3/2 · 1 = 3/2 = c/a. Всё сходится, значит корни уравнения — 3/2 и 1.

---

Источники

Определения, формула дискриминанта и теорема Виета соответствуют школьному курсу алгебры (8 класс) и кодификатору ОГЭ:

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. «Алгебра. 8 класс» — глава «Квадратные уравнения».
• Мордкович А.Г. «Алгебра. 8 класс» — квадратные уравнения и теорема Виета.
• Институт стратегии развития образования — федеральная рабочая программа по алгебре.
• ФИПИ — кодификатор и демоверсии ОГЭ по математике.

Частые вопросы о квадратных уравнениях

Что такое дискриминант квадратного уравнения?

Дискриминант — это число D = b² − 4ac, которое вычисляют по коэффициентам уравнения. По его знаку сразу видно, сколько у уравнения действительных корней, ещё до их вычисления.

Сколько корней имеет квадратное уравнение?

Это зависит от знака дискриминанта. При D > 0 корней два, при D = 0 — один (кратности два), при D < 0 действительных корней нет, но есть два комплексно-сопряжённых корня.

Как решить неполное квадратное уравнение?

Если c = 0, выносят x за скобку: x(ax + b) = 0, откуда x₁ = 0 и x₂ = −b/a. Если b = 0, выражают x² = −c/a и извлекают корень. Дискриминант при этом считать не обязательно.

Что такое приведённое уравнение и теорема Виета?

Приведённое уравнение имеет вид x² + px + q = 0 (старший коэффициент равен 1). По теореме Виета сумма его корней равна −p, а произведение равно q. Это удобно для устной проверки найденных корней.

Можно ли вводить дробные коэффициенты?

Да. Коэффициенты a, b и c можно задавать целыми, десятичными (например 0,5 или -1.25) и обыкновенными дробями (например 3/4). Ответ калькулятор выводит точно — дробью или радикалом, а при необходимости переключается на десятичный.

Что значит D < 0 — у уравнения нет решений?

Действительных корней действительно нет: парабола не пересекает ось X. Но в множестве комплексных чисел уравнение имеет два сопряжённых корня вида x = m ± n·i, которые калькулятор тоже показывает.

Калькулятор показывает решение по шагам?

Да. После расчёта нажмите «Показать решение по шагам» — калькулятор распишет вычисление дискриминанта с подстановкой чисел, формулу корней, проверку по теореме Виета и координаты вершины параболы.