Калькулятор решает систему линейных уравнений методом Гаусса и показывает оба хода: прямой, где элементы под главной диагональю обнуляются по одному столбцу за шаг, и обратный, где неизвестные находятся снизу вверх подстановкой. После каждого столбца выводится матрица целиком, поэтому разбор можно переписать в тетрадь строка за строкой. Рядом с ответом стоят ранг матрицы системы, ранг расширенной матрицы, тип системы и проверка подстановкой, а всё вычисление идёт на обыкновенных дробях без округлений.
Что делает метод Гаусса
Метод Гаусса, он же метод последовательного исключения неизвестных, сводит систему к такой, где каждое следующее уравнение содержит на одну неизвестную меньше предыдущего. Из последнего уравнения неизвестная находится сразу, из предпоследнего — подстановкой уже найденной, и так до первого.
Работают с расширенной матрицей: коэффициенты при неизвестных плюс столбец свободных членов справа от черты. Переписывать переменные на каждом шаге не нужно, они стоят на своих местах по столбцам.
Разрешены три элементарных преобразования, и ни одно из них не меняет множество решений:
- перестановка двух строк местами;
- умножение строки на число, не равное нулю;
- прибавление к строке другой строки, умноженной на любое число.
Именно поэтому преобразованная система равносильна исходной, и найденный в конце ответ подходит к первоначальным уравнениям.
Прямой ход: приведение к треугольному виду
Прямой ход идёт по столбцам слева направо. В первом столбце выбирается ведущий элемент — первый ненулевой сверху. Если сверху оказался ноль, строки меняются местами: делить на ноль нельзя, а ведущим элемент с нулём быть не может. Калькулятор такую перестановку называет вслух, а не делает молча.
Дальше из каждой строки ниже вычитается строка с ведущим элементом, умноженная на подходящий множитель. Множитель берётся как отношение обнуляемого элемента к ведущему: после вычитания в столбце под ведущим элементом остаются нули. Затем то же самое повторяется для второго столбца начиная со второй строки, потом для третьего и так далее.
Когда прямой ход закончен, матрица имеет ступенчатый вид: под главной диагональю нули, а числа над ней пересчитаны на шагах прямого хода. Это и есть промежуточный результат, который проверяет преподаватель.
Обратный ход: неизвестные снизу вверх
Последняя строка ступенчатой матрицы содержит одну неизвестную, и она находится делением. Найденное значение подставляется в строку выше, где остаётся снова одна неизвестная. Так поднимаются до первой строки.
Калькулятор расписывает каждый шаг обратного хода отдельно: как читается строка, что в неё подставлено и какое значение получилось. Это половина работы, которую спрашивают на контрольной, и в разборе она видна целиком.
Чем метод Гаусса отличается от метода Гаусса-Жордана
Разница ровно в одном: до каких пор обнуляются элементы столбца.
| Признак | Метод Гаусса | Метод Гаусса-Жордана |
| Где делаются нули | Только под главной диагональю | И под диагональю, и над ней |
| Ведущий элемент | Остаётся как есть | Приводится к единице делением строки |
| Итоговая матрица | Треугольная, ступенчатая | Единичная по базисным столбцам |
| Обратный ход | Нужен: подстановка снизу вверх | Не нужен, ответ стоит в столбце свободных членов |
| Объём вычислений | Меньше примерно в полтора раза | Больше, зато запись ответа короче |
Оба варианта переключаются в списке над кнопкой расчёта, и ответ у них совпадает — отличается только ход. Проверить это удобно на одной и той же системе.
Разница существеннее, чем кажется. Часть онлайн-калькуляторов под заголовком «метод Гаусса» показывает именно жорданово исключение: в их разборе нули появляются и над диагональю, а обратного хода нет вовсе. Переписанное из такого разбора решение отвечает не на тот вопрос, который задали в задании.
Ступенчатый вид и ранг матрицы
Число ненулевых строк ступенчатой матрицы и есть ранг. Прямой ход поэтому решает не только систему: он заодно считает ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной матрицы, а сравнение этих двух чисел отвечает на вопрос, есть ли у системы решение вообще.
- Ранги равны и совпадают с числом неизвестных — решение единственное.
- Ранги равны, но меньше числа неизвестных — решений бесконечно много, часть переменных становится свободной.
- Ранг расширенной матрицы больше — система несовместна, в ступенчатом виде появляется строка вида 0 = 5.
Это теорема Кронекера-Капелли. Калькулятор показывает оба ранга отдельными строками, а при бесконечном множестве решений выписывает общее решение через свободные переменные и указывает его размерность.
Метод Гаусса здесь удобнее всех прочих: он работает с любой системой, в том числе прямоугольной, где уравнений и неизвестных разное число. Метод Крамера и матричный метод в таких задачах неприменимы вовсе.
Почему в разборе дроби, а не 0,5
Множители прямого хода почти всегда дробные, и дальше дроби идут по всей матрице. Если округлять их до десятичных, ошибка накапливается от строки к строке, и на этапе определения ранга это уже не мелочь: вместо точного нуля выходит 0,0000000001, строка считается ненулевой, а совместная система объявляется несовместной.
Калькулятор считает на обыкновенных дробях с целыми числителем и знаменателем произвольной длины. Ноль в нём остаётся нулём, ранг определяется точно, а ответ получается школьным: 7/3, а не 2,3333333. Десятичный вид переключается в списке рядом, если он нужнее.
Когда метод Гаусса удобнее метода Крамера
Оба метода решают одну задачу, но берут её с разных сторон, и область применения у них разная.
- Форма системы. Крамеру нужна квадратная система с ненулевым определителем. Гауссу подходит любая: прямоугольная, вырожденная, несовместная — он про каждую скажет, что с ней.
- Объём работы. Метод Гаусса требует порядка 2n³/3 арифметических действий. Метод Крамера требует n + 1 определителей, и если считать их разложением по строке, объём растёт как факториал. Для системы 5 × 5 разница уже видна на бумаге.
- Что получается попутно. Гаусс даёт ранг, ступенчатый вид и общее решение. Крамер даёт только значения неизвестных и только тогда, когда они единственные.
Практическое правило простое: для двух и трёх неизвестных с целыми коэффициентами удобнее Крамер, потому что определители 2 × 2 и 3 × 3 считаются в уме. Дальше выигрывает Гаусс. Метод Крамера с полным разбором определителей разобран на соседней странице.
Выбор ведущего элемента и устойчивость
В вычислительной математике ведущим берут не первый ненулевой элемент столбца, а наибольший по модулю, и строки переставляют именно ради этого. Приём называется частичным выбором ведущего элемента и нужен, чтобы деление на очень маленькое число не раздувало погрешность округления.
В расчётах на обыкновенных дробях погрешности округления нет вообще, поэтому калькулятор переставляет строки только там, где без перестановки не обойтись: когда на месте ведущего элемента стоит ноль. Ход решения от этого ближе к тетрадному, а точность не страдает. Для больших плохо обусловленных систем это неверный подход, но такие задачи решают не онлайн-калькулятором.
Как записать систему в калькулятор
Два способа ввода переключаются в первом списке.
- Уравнениями. По одному в строке, в привычной записи:
2x + y - z = 8. Переменные калькулятор находит сам, порядок берёт школьный — сначала x, потом y, z, w. Неизвестные могут быть любыми латинскими буквами, до восьми штук. - Таблицей коэффициентов. Числа по строкам, свободные члены в правом столбце. Пустая клетка читается как ноль. Так удобнее, когда система уже записана матрицей.
Коэффициенты принимаются целыми, десятичными через запятую или точку (0,5x) и обыкновенными дробями (1/3y, x/2). Число уравнений может не совпадать с числом неизвестных.
Чего калькулятор не делает
- Не решает нелинейные системы: неизвестные должны стоять в первой степени, без квадратов, корней и произведений друг на друга.
- Не работает с параметрами вместо чисел: коэффициент вида
aбудет прочитан как ещё одна неизвестная. - Не оценивает обусловленность матрицы и погрешность — для задач вычислительной математики нужны другие инструменты.
- Не заменяет разбор темы: ход решения показан целиком, но понимать, почему преобразования законны, всё равно придётся самому.