Калькулятор объёма конуса

Способы расчёта объёма конуса

Калькулятор находит объём конуса семью способами: по радиусу и высоте, по диаметру и высоте, по площади основания и высоте, а также по радиусу и образующей. Ещё два режима решают обратную задачу — находят высоту по объёму и радиусу или радиус по объёму и высоте. Седьмой режим считает усечённый конус. Любые исходные данные калькулятор сначала сводит к радиусу основания и высоте, а затем подставляет их в формулу объёма.

Формула объёма конуса

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = 1⁄3·π·r²·h. Через площадь основания S это записывают короче — V = 1⁄3·S·h, а через диаметр — V = π·d²·h⁄12. Если вместо высоты дана образующая l, высоту находят по теореме Пифагора: h = √(l² − r²). Все варианты собраны в таблице.

Что такое конус

Конус — это тело вращения: его получают, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. Точка, в которой сходятся боковые линии, называется вершиной, а круг под ней — основанием. Отрезок от вершины до центра основания, перпендикулярный ему, — это высота h, а расстояние от вершины до края основания — образующая l. Радиус основания r, высота и образующая связаны теоремой Пифагора: l² = r² + h². Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник.

Что показывает калькулятор

Кроме объёма калькулятор сразу выводит остальные характеристики конуса — удобно проверить задачу целиком:

• Объём в литрах наряду с кубическими единицами.
• Площадь основания (π·r²) и образующую (l).
• Площадь боковой поверхности (π·r·l) и полную площадь (π·r·(r + l)).
• Угол при вершине и массу, если выбран материал.

Образующая и площадь поверхности

Образующая конуса l = √(r² + h²) — это длина бокового ребра от вершины до края основания. Площадь боковой поверхности равна S = π·r·l, а полная площадь складывается из боковой и площади основания: S = π·r·(r + l). Если развернуть боковую поверхность на плоскость, получится круговой сектор с радиусом, равным образующей.

Усечённый конус

Усечённый конус получается, если у обычного конуса срезать вершину плоскостью, параллельной основанию. У него два круглых основания — нижнее радиуса R и верхнее радиуса r. Объём считают по формуле V = 1⁄3·π·h·(R² + R·r + r²), где h — высота между основаниями. В этом режиме калькулятор дополнительно находит образующую l = √((R − r)² + h²), площадь боковой и полной поверхности, а при выбранном материале — массу. Верхний радиус должен быть меньше нижнего.

Масса конуса по плотности

Чтобы узнать массу, выберите материал — калькулятор умножит объём на его плотность: m = ρ·V. В списке есть сталь (7850 кг/м³), чугун (7200), алюминий (2700), свинец (11340), бетон (2400) и вода (1000). Например, стальной конус с радиусом 5 см и высотой 12 см весит около 2,47 кг. Объём для расчёта массы автоматически переводится в кубометры, поэтому единицу длины можно выбирать любую.

Как рассчитать объём конуса на калькуляторе

1. Выберите в поле «Что известно» исходные данные: радиус и высоту, диаметр, площадь основания, образующую, объём для обратного расчёта или параметры усечённого конуса.
2. Введите значения, выберите единицу измерения, точность округления и при необходимости материал.
3. Получите объём в кубических единицах и литрах вместе с площадями, образующей и углом при вершине. Блок «Метод расчёта» покажет формулу с подстановкой, а кнопка «Скопировать результат» сохранит ответ.

Частые вопросы об объёме конуса

Как найти объём конуса?

Объём равен трети произведения площади основания на высоту: V = 1⁄3·π·r²·h. Например, при радиусе 5 см и высоте 12 см объём равен 1⁄3·π·5²·12 ≈ 314,16 см³ — это около 0,31 литра.

Как посчитать объём конуса через образующую?

Если известны радиус r и образующая l, сначала находят высоту h = √(l² − r²), а затем считают объём. При радиусе 5 см и образующей 13 см высота равна 12 см, а объём — около 314,16 см³.

Чему равна площадь поверхности конуса?

Полную площадь считают по формуле S = π·r·(r + l), где l — образующая. При радиусе 5 см и образующей 13 см она равна π·5·(5 + 13) ≈ 282,74 см².

Как вычислить объём усечённого конуса?

Используют формулу V = 1⁄3·π·h·(R² + R·r + r²), где R и r — радиусы оснований, а h — высота между ними. Например, при R = 6 см, r = 3 см и h = 4 см объём равен ≈ 263,89 см³.

Как изменится объём, если радиус удвоить?

При той же высоте объём вырастет в 4 раза, потому что он пропорционален квадрату радиуса (2² = 4). Если же удвоить высоту, объём увеличится только вдвое.

---

Источники

• Конус — тело вращения, образующая, формула объёма, Википедия.
• Объём — определение и единицы измерения, Википедия.
• Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — СПб.: Лань.

Калькулятор предназначен для учебных и справочных расчётов.