Способы расчёта объёма конуса
Калькулятор находит объём конуса семью способами: по радиусу и высоте, по диаметру и высоте, по площади основания и высоте, а также по радиусу и образующей. Ещё два режима решают обратную задачу — находят высоту по объёму и радиусу или радиус по объёму и высоте. Седьмой режим считает усечённый конус. Любые исходные данные калькулятор сначала сводит к радиусу основания и высоте, а затем подставляет их в формулу объёма.
Формула объёма конуса
Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = 1⁄3·π·r²·h. Через площадь основания S это записывают короче — V = 1⁄3·S·h, а через диаметр — V = π·d²·h⁄12. Если вместо высоты дана образующая l, высоту находят по теореме Пифагора: h = √(l² − r²). Все варианты собраны в таблице.
| Что известно | Как найти объём |
|---|---|
| Радиус r и высота h | V = 1⁄3 · π · r² · h |
| Диаметр d и высота h | r = d / 2, затем V = 1⁄3 · π · r² · h |
| Площадь основания S и высота h | V = 1⁄3 · S · h |
| Радиус r и образующая l | h = √(l² − r²), затем V = 1⁄3 · π · r² · h |
| Объём V и радиус r | h = 3V / (π · r²) |
| Объём V и высота h | r = √(3V / (π · h)) |
| Усечённый конус: R, r, h | V = 1⁄3 · π · h · (R² + R·r + r²) |
Что такое конус
Конус — это тело вращения: его получают, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. Точка, в которой сходятся боковые линии, называется вершиной, а круг под ней — основанием. Отрезок от вершины до центра основания, перпендикулярный ему, это высота h, а расстояние от вершины до края основания — образующая l. Радиус основания r, высота и образующая связаны теоремой Пифагора: l² = r² + h². Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник.
Что показывает калькулятор
Кроме объёма калькулятор сразу выводит остальные характеристики конуса — удобно проверить задачу целиком:
- Объём в литрах наряду с кубическими единицами.
- Площадь основания (π·r²) и образующую (l).
- Площадь боковой поверхности (π·r·l) и полную площадь (π·r·(r + l)).
- Угол при вершине и массу, если выбран материал.
Образующая и площадь поверхности
Образующая конуса l = √(r² + h²) — это длина отрезка от вершины до точки окружности основания. Площадь боковой поверхности равна S = π·r·l, а полная площадь складывается из боковой и площади основания: S = π·r·(r + l). Если развернуть боковую поверхность на плоскость, получится круговой сектор с радиусом, равным образующей.
Усечённый конус
Усечённый конус получается, если у обычного конуса срезать вершину плоскостью, параллельной основанию. У него два круглых основания — нижнее радиуса R и верхнее радиуса r. Объём считают по формуле V = 1⁄3·π·h·(R² + R·r + r²), где h — высота между основаниями. В этом режиме калькулятор дополнительно находит образующую l = √((R − r)² + h²), площадь боковой и полной поверхности, а при выбранном материале — массу. Верхний радиус должен быть меньше нижнего.
Масса конуса по плотности
Чтобы узнать массу, выберите материал — калькулятор умножит объём на его плотность: m = ρ·V. В списке есть сталь (7850 кг/м³), чугун (7200), алюминий (2700), свинец (11340), бетон (2400) и вода (1000). Например, стальной конус с радиусом 5 см и высотой 12 см весит около 2,47 кг. Объём для расчёта массы автоматически переводится в кубометры, поэтому единицу длины можно выбирать любую.
Как рассчитать объём конуса на калькуляторе
- Выберите в поле «Что известно» исходные данные: радиус и высоту, диаметр, площадь основания, образующую, объём для обратного расчёта или параметры усечённого конуса.
- Введите значения, выберите единицу измерения, точность округления и при необходимости материал.
- Получите объём в кубических единицах и литрах вместе с площадями, образующей и углом при вершине. Блок «Метод расчёта» покажет формулу с подстановкой, а кнопка «Скопировать результат» сохранит ответ.