Способы расчёта объёма параллелепипеда
Калькулятор находит объём параллелепипеда четырьмя способами. Основной — по трём рёбрам прямоугольного параллелепипеда. Второй считает наклонный параллелепипед по площади основания и высоте. Третий решает обратную задачу: находит третье ребро по объёму и двум известным. Четвёртый вычисляет объём произвольного параллелепипеда по координатам трёх векторов через их смешанное произведение.
Формула объёма параллелепипеда
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его рёбер: V = a·b·c. У наклонного параллелепипеда объём равен площади основания, умноженной на высоту: V = S·h. Если параллелепипед задан тремя векторами, его объём равен модулю их смешанного произведения. Все варианты собраны в таблице.
| Что известно | Как найти объём |
|---|---|
| Три ребра a, b, c | V = a · b · c |
| Площадь основания S и высота h | V = S · h |
| Объём V и два ребра a, b | c = V / (a · b) |
| Векторы a, b, c | V = |a · (b × c)| |
Что такое параллелепипед
Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом, причём противоположные грани равны и параллельны. Если все грани прямоугольники, параллелепипед называют прямоугольным, а длины трёх его рёбер из одной вершины — измерениями (длина, ширина, высота). Если боковые рёбра не перпендикулярны основанию, параллелепипед называют наклонным, если перпендикулярны — прямым. Частный случай прямоугольного параллелепипеда с равными рёбрами — куб.
Что показывает калькулятор
Кроме объёма калькулятор сразу выводит остальные характеристики прямоугольного параллелепипеда — удобно проверить задачу целиком:
- Объём в литрах наряду с кубическими единицами.
- Площадь полной (2·(ab + bc + ca)) и боковой поверхности, а также площадь основания (a·b).
- Диагональ параллелепипеда и диагонали трёх граней.
- Сумму длин всех рёбер и массу, если выбран материал.
Площадь поверхности и диагональ
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда складывается из площадей трёх пар граней: S = 2·(a·b + b·c + c·a). Боковая поверхность — это четыре боковые грани без оснований. Диагональ, соединяющая противоположные вершины, проходит сквозь тело и находится по пространственной теореме Пифагора: d = √(a² + b² + c²). Диагонали отдельных граней калькулятор тоже показывает.
Объём через векторы
Если параллелепипед построен на трёх векторах a, b и c, его объём равен модулю смешанного произведения этих векторов: V = |a·(b×c)|. Численно оно равно определителю матрицы, составленной из координат векторов. Этот способ работает для любого, в том числе наклонного, параллелепипеда. Если векторы лежат в одной плоскости, объём равен нулю — параллелепипед вырождается.
Масса параллелепипеда по плотности
Чтобы узнать массу, выберите материал — калькулятор умножит объём на его плотность: m = ρ·V. В списке есть сталь (7850 кг/м³), алюминий (2700), бетон (2400), кирпич (1800), сосна (520) и вода (1000). Например, бетонный блок 20 × 20 × 40 см весит около 38,4 кг. Объём для расчёта массы автоматически переводится в кубометры, поэтому единицу длины можно выбирать любую.
Как рассчитать объём параллелепипеда на калькуляторе
- Выберите в поле «Что известно» исходные данные: три ребра, площадь основания с высотой, объём с двумя рёбрами или координаты векторов.
- Введите значения, выберите единицу измерения, точность округления и при необходимости материал.
- Получите объём в кубических единицах и литрах вместе с площадями и диагональю. Блок «Метод расчёта» покажет формулу с подстановкой, а кнопка «Скопировать результат» сохранит ответ.