Двенадцать способов расчёта
Объём пирамиды всегда равен трети произведения площади основания на высоту. Вся разница между задачами в том, что именно дано вместо этих двух чисел, поэтому калькулятор принимает исходные данные в двенадцати видах.
- Правильная четырёхугольная — в основании квадрат, самый частый случай в учебнике.
- Правильная треугольная — в основании равносторонний треугольник.
- Правильная n-угольная — от 3 до 20 сторон, в том числе шестиугольная.
- Площадь основания и высота — общий случай для основания любой формы.
- Прямоугольное основание a × b.
- Треугольное основание по трём сторонам — площадь считается по формуле Герона.
- Сторона основания и боковое ребро — высоту калькулятор находит сам.
- Сторона основания и апофема грани — то же, но через апофему.
- Усечённая пирамида по сторонам оснований — вводятся стороны, а не площади.
- Усечённая пирамида по площадям оснований.
- Тетраэдр по ребру — правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны.
- Обратная задача — высота по известному объёму и площади основания.
Кроме объёма калькулятор выводит площадь основания, периметр, апофему основания и боковой грани, боковое ребро, площадь боковой и полной поверхности, объём в литрах и кубических метрах.
Формула объёма пирамиды
Основная формула одна, остальные — способы найти площадь основания или высоту.
| Что известно | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Площадь основания S и высота h | V = S · h / 3 | 36 · 10 / 3 = 120 см³ |
| Квадрат со стороной a | V = a² · h / 3 | a = 6, h = 10: 120 см³ |
| Равносторонний треугольник | V = (√3 / 12) · a² · h | a = 6, h = 10: 51,96 см³ |
| Правильный n-угольник | V = n · a² · h / (12 · tg(180°/n)) | n = 6, a = 6, h = 10: 311,77 см³ |
| Прямоугольник a × b | V = a · b · h / 3 | 6 · 4 · 10 / 3 = 80 см³ |
| Тетраэдр с ребром a | V = a³ / (6√2) | a = 6: 25,4558 см³ |
| Усечённая пирамида | V = h/3 · (S₁ + S₂ + √(S₁·S₂)) | 6 и 4, h = 9: 228 см³ |
Откуда в формуле треть
Треть не подгонка и не приближение: пирамида занимает ровно треть призмы, у которой то же основание и та же высота. Куб можно разрезать на три равные пирамиды с общей вершиной, и это самый наглядный способ увидеть коэффициент. Проверить легко на числах: у призмы с основанием 6 × 6 и высотой 10 объём 360 см³, у пирамиды с теми же размерами — 120 см³.
Та же треть стоит в объёме конуса V = π·r²·h / 3, и по той же причине: конус это предельный случай пирамиды, у которой число сторон основания растёт до бесконечности.
Правильная пирамида: апофема, боковое ребро и поверхности
Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а вершина стоит точно над его центром. У такой пирамиды считаются и все остальные величины, которые обычно спрашивают в той же задаче.
- Апофема основания r — расстояние от центра до стороны: r = a / (2·tg(180°/n)).
- Радиус описанной окружности R — расстояние от центра до вершины основания: R = a / (2·sin(180°/n)).
- Апофема боковой грани m — высота грани, опущенная на сторону основания: m = √(h² + r²).
- Боковое ребро l = √(h² + R²).
- Площадь боковой поверхности S = P · m / 2, где P — периметр основания.
Для пирамиды с квадратом 6 × 6 и высотой 10 это даёт: апофема грани 10,44 см, боковое ребро 10,86 см, боковая поверхность 125,28 см², полная 161,28 см². Калькулятор выводит эти величины рядом с объёмом, потому что в школьной задаче их спрашивают вместе.
⚠ Важно не путать апофему основания с апофемой боковой грани: первая лежит в плоскости основания, вторая наклонена. Разница видна в формуле: апофема грани всегда больше, потому что в неё входит высота.
Если высота неизвестна
В задачах высоту часто не дают, а дают боковое ребро или апофему грани. Высота находится из прямоугольного треугольника внутри пирамиды:
- По боковому ребру: h = √(l² − R²), где R — радиус описанной окружности основания.
- По апофеме грани: h = √(m² − r²), где r — апофема основания.
Если ребро окажется не длиннее R (или апофема грани не длиннее r), пирамиды не существует: вершина не поднимется над плоскостью основания. Калькулятор в этом случае объясняет причину и показывает, какой длины должно быть ребро минимум, а не выдаёт «NaN».
Усечённая пирамида
Усечённая пирамида получается, если верхушку срезать плоскостью, параллельной основанию. Объём считается по формуле V = h/3 · (S₁ + S₂ + √(S₁·S₂)), где S₁ и S₂ — площади нижнего и верхнего оснований.
⚠ Частая ошибка — взять полусумму оснований и умножить на высоту, как в трапеции. Так получается больше, чем на самом деле: для оснований 6 и 4 при высоте 9 верный ответ 228 см³, а полусумма даёт 234 см³, то есть завышение на 2,6 %. Чем сильнее отличаются основания, тем крупнее ошибка: для 10 и 5 при высоте 12 это уже 700 против 750 см³, завышение 7,1 %.
В школьной задаче обычно даны стороны квадратных оснований, а не их площади, поэтому у нас есть оба режима. Для квадратных оснований дополнительно считаются апофема боковой грани m = √(h² + ((a₁ − a₂)/2)²), боковое ребро и площадь боковой поверхности S = (P₁ + P₂) / 2 · m.
Тетраэдр
Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, у которой все шесть рёбер равны. Она задаётся одним числом: V = a³ / (6√2) ≈ 0,11785 · a³. Высота такого тетраэдра равна a · √(2/3) ≈ 0,8165 · a, площадь каждой грани (√3 / 4) · a².
При ребре 6 см объём равен 25,4558 см³, высота 4,899 см. Для сравнения: у правильной треугольной пирамиды с тем же основанием, но высотой 10 см объём 51,96 см³ — тетраэдр заметно ниже, чем кажется.
Единицы, литры и кубометры
Объём измеряется в кубических единицах, и коэффициент перевода возводится в куб — здесь ошибаются чаще всего.
| Единица | В кубических метрах | Проверка |
|---|---|---|
| 1 мм³ | 0,000000001 м³ | 1 м³ = 1 000 000 000 мм³ |
| 1 см³ | 0,000001 м³ | 1 м³ = 1 000 000 см³ |
| 1 дм³ | 0,001 м³ | 1 дм³ = 1 литр |
Калькулятор считает внутри в метрах и выводит объём в выбранной единице, в литрах и отдельной строкой в кубометрах. Пересчёта из уже округлённого числа не происходит, поэтому строка в м³ точная.
Таблица объёмов для типовых размеров
Правильная четырёхугольная пирамида, размеры в сантиметрах.
| Сторона a | Высота h | Площадь основания | Объём | Апофема грани | Полная поверхность |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 4 | 6,67 | 5,10 | 24,40 |
| 3 | 4 | 9 | 12 | 4,27 | 34,63 |
| 4 | 6 | 16 | 32 | 6,32 | 66,60 |
| 6 | 10 | 36 | 120 | 10,44 | 161,28 |
| 10 | 12 | 100 | 400 | 13 | 360 |
Объём растёт как квадрат стороны: при удвоении стороны он вырастает вчетверо, при удвоении высоты — только вдвое. Поэтому «широкая и низкая» пирамида почти всегда объёмнее «узкой и высокой» с теми же суммарными размерами.
Как рассчитать объём пирамиды на калькуляторе
- Выберите в поле «Что известно» подходящий случай: правильная пирамида, произвольное основание, усечённая, тетраэдр или обратная задача.
- Введите числа. Запятая и точка равнозначны, пробелы внутри числа игнорируются, дробь вида 5/2 тоже принимается.
- Укажите единицу длины и округление. Единица меняет только масштаб и подпись, сам расчёт от неё не зависит.
- Прочитайте ответ: объём крупно, остальные величины строками ниже, литры и кубометры отдельными строками.
- Блок «Ход решения» показывает формулы с подставленными числами. Решение целиком выгружается в Word одной кнопкой.