Калькулятор объёма пирамиды

Двенадцать способов расчёта

Объём пирамиды всегда равен трети произведения площади основания на высоту. Вся разница между задачами в том, что именно дано вместо этих двух чисел, поэтому калькулятор принимает исходные данные в двенадцати видах.

• Правильная четырёхугольная - в основании квадрат, самый частый случай в учебнике.
• Правильная треугольная - в основании равносторонний треугольник.
• Правильная n-угольная - от 3 до 20 сторон, в том числе шестиугольная.
• Площадь основания и высота - общий случай для основания любой формы.
• Прямоугольное основание a × b.
• Треугольное основание по трём сторонам - площадь считается по формуле Герона.
• Сторона основания и боковое ребро - высоту калькулятор находит сам.
• Сторона основания и апофема грани - то же, но через апофему.
• Усечённая пирамида по сторонам оснований - вводятся стороны, а не площади.
• Усечённая пирамида по площадям оснований.
• Тетраэдр по ребру - правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны.
• Обратная задача - высота по известному объёму и площади основания.

Кроме объёма калькулятор выводит площадь основания, периметр, апофему основания и боковой грани, боковое ребро, площадь боковой и полной поверхности, объём в литрах и кубических метрах.

Формула объёма пирамиды

Основная формула одна, остальные - способы найти площадь основания или высоту.

Откуда в формуле треть

Треть не подгонка и не приближение: пирамида занимает ровно треть призмы, у которой то же основание и та же высота. Куб можно разрезать на три равные пирамиды с общей вершиной, и это самый наглядный способ увидеть коэффициент. Проверить легко на числах: у призмы с основанием 6 × 6 и высотой 10 объём 360 см³, у пирамиды с теми же размерами - 120 см³.

Та же треть стоит в объёме конуса V = π·r²·h / 3, и по той же причине: конус это предельный случай пирамиды, у которой число сторон основания растёт до бесконечности.

Правильная пирамида: апофема, боковое ребро и поверхности

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а вершина стоит точно над его центром. У такой пирамиды считаются и все остальные величины, которые обычно спрашивают в той же задаче.

• Апофема основания r - расстояние от центра до стороны: r = a / (2·tg(180°/n)).
• Радиус описанной окружности R - расстояние от центра до вершины основания: R = a / (2·sin(180°/n)).
• Апофема боковой грани m - высота грани, опущенная на сторону основания: m = √(h² + r²).
• Боковое ребро l = √(h² + R²).
• Площадь боковой поверхности S = P · m / 2, где P - периметр основания.

Для пирамиды с квадратом 6 × 6 и высотой 10 это даёт: апофема грани 10,44 см, боковое ребро 10,86 см, боковая поверхность 125,28 см², полная 161,28 см². Ни один из разобранных калькуляторов топ-10 этих величин не выводит, хотя в школьной задаче их спрашивают вместе с объёмом.

⚠ Важно не путать апофему основания с апофемой боковой грани: первая лежит в плоскости основания, вторая наклонена. Разница видна в формуле: апофема грани всегда больше, потому что в неё входит высота.

Если высота неизвестна

В задачах высоту часто не дают, а дают боковое ребро или апофему грани. Высота находится из прямоугольного треугольника внутри пирамиды:

• По боковому ребру: h = √(l² − R²), где R - радиус описанной окружности основания.
• По апофеме грани: h = √(m² − r²), где r - апофема основания.

Если ребро окажется короче R (или апофема грани короче r), пирамиды не существует: вершина оказалась бы ниже плоскости основания. Калькулятор в этом случае объясняет причину и показывает, какой длины должно быть ребро минимум, а не выдаёт «NaN».

Усечённая пирамида

Усечённая пирамида получается, если верхушку срезать плоскостью, параллельной основанию. Объём считается по формуле V = h/3 · (S₁ + S₂ + √(S₁·S₂)), где S₁ и S₂ - площади нижнего и верхнего оснований.

⚠ Частая ошибка - взять полусумму оснований и умножить на высоту, как в трапеции. Так получается больше, чем на самом деле: для оснований 6 и 4 при высоте 9 верный ответ 228 см³, а полусумма даёт 234 см³, то есть завышение на 2,6 %. Чем сильнее отличаются основания, тем крупнее ошибка: для 10 и 5 при высоте 12 это уже 700 против 750 см³, завышение 7,1 %.

В школьной задаче обычно даны стороны квадратных оснований, а не их площади - калькуляторы топ-10 требуют именно площади, поэтому у нас есть оба режима. Для квадратных оснований дополнительно считаются апофема боковой грани m = √(h² + ((a₁ − a₂)/2)²), боковое ребро и площадь боковой поверхности S = (P₁ + P₂) / 2 · m.

Тетраэдр

Правильный тетраэдр - это треугольная пирамида, у которой все шесть рёбер равны. Она задаётся одним числом: V = a³ / (6√2) ≈ 0,11785 · a³. Высота такого тетраэдра равна a · √(2/3) ≈ 0,8165 · a, площадь каждой грани (√3 / 4) · a².

При ребре 6 см объём равен 25,4558 см³, высота 4,899 см. Для сравнения: у правильной треугольной пирамиды с тем же основанием, но высотой 10 см объём 51,96 см³ - тетраэдр заметно ниже, чем кажется.

Единицы, литры и кубометры

Объём измеряется в кубических единицах, и коэффициент перевода возводится в куб - здесь ошибаются чаще всего.

Калькулятор считает внутри в метрах и выводит объём в выбранной единице, в литрах и отдельной строкой в кубометрах. Пересчёта из уже округлённого числа не происходит, поэтому строка в м³ точная.

Таблица объёмов для типовых размеров

Правильная четырёхугольная пирамида, размеры в сантиметрах.

Объём растёт как квадрат стороны: при удвоении стороны он вырастает вчетверо, при удвоении высоты - только вдвое. Поэтому «широкая и низкая» пирамида почти всегда объёмнее «узкой и высокой» с теми же суммарными размерами.

Как рассчитать объём пирамиды на калькуляторе

1. Выберите в поле «Что известно» подходящий случай: правильная пирамида, произвольное основание, усечённая, тетраэдр или обратная задача.
2. Введите числа. Запятая и точка равнозначны, пробелы внутри числа игнорируются, дробь вида 5/2 тоже принимается.
3. Укажите единицу длины и округление. Единица меняет только масштаб и подпись, сам расчёт от неё не зависит.
4. Прочитайте ответ: объём крупно, остальные величины строками ниже, литры и кубометры отдельными строками.
5. Блок «Ход решения» показывает формулы с подставленными числами. Решение целиком выгружается в Word одной кнопкой.

Частые вопросы об объёме пирамиды

Как найти объём пирамиды?

Объём равен трети произведения площади основания на высоту: V = S · h / 3. Например, при квадратном основании со стороной 6 см и высоте 10 см площадь основания равна 36 см², а объём 36 · 10 / 3 = 120 см³. Высоту берут именно перпендикулярную основанию, а не боковое ребро.

Почему в формуле объёма пирамиды стоит одна треть?

Потому что пирамида занимает ровно треть призмы с тем же основанием и той же высотой. Куб разрезается на три равные пирамиды с общей вершиной - это классическое доказательство. У призмы с основанием 6 × 6 и высотой 10 объём 360 см³, у пирамиды 120 см³.

Как найти объём пирамиды, если известно боковое ребро?

Сначала находят высоту из прямоугольного треугольника: h = √(l² − R²), где l - боковое ребро, R - радиус описанной окружности основания, равный a / (2·sin(180°/n)). Затем объём считают обычным способом. В калькуляторе для этого есть режим «Сторона основания и боковое ребро».

Как посчитать объём усечённой пирамиды?

По формуле V = h/3 · (S₁ + S₂ + √(S₁·S₂)), где S₁ и S₂ - площади оснований. Полусумму оснований умножать на высоту нельзя, это завышает ответ: для квадратных оснований 6 и 4 при высоте 9 верно 228 см³, а полусумма даёт 234 см³.

Чему равен объём тетраэдра?

У правильного тетраэдра с ребром a объём равен a³ / (6√2), то есть примерно 0,11785 · a³. При ребре 6 см это 25,4558 см³. Высота тетраэдра равна a · √(2/3) ≈ 0,8165 · a.

Как найти высоту пирамиды, если известен объём?

Из формулы V = S · h / 3 следует h = 3V / S. Например, при объёме 120 см³ и площади основания 36 см² высота равна 3 · 120 / 36 = 10 см. В калькуляторе это режим «Найти высоту по объёму».

Чем отличается апофема пирамиды от её высоты?

Высота - это перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Апофема боковой грани - высота самой грани, опущенная на сторону основания, она наклонена и всегда длиннее высоты: m = √(h² + r²), где r - апофема основания. Путаница между ними самая частая ошибка в задачах на площадь боковой поверхности.

Источники

• Приказ Минпросвещения России от 31.05.2021 № 287 - федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования, требования к предметным результатам по геометрии.
• Открытый банк заданий ЕГЭ, ФИПИ - задачи по стереометрии на объёмы многогранников.
• ISO 80000-2:2019 «Величины и единицы. Часть 2. Математика» - обозначения геометрических величин.
• Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10–11 классы. - М.: Просвещение. Глава о многогранниках и их объёмах.