Десятичные дроби

01Что это такое и как устроены разряды

Знаменатель у такой дроби всегда 10, 100, 1000 или дальше по разрядам. Его не пишут: вместо него ставят запятую.

Слева от запятой целая часть, справа дробная. В числе 3,405 три целых и 405 тысячных. Разряды идут по порядку: десятые, сотые, тысячные.

Нули в конце величину не меняют: 0,5 = 0,50 = 0,500 — их дописывают, чтобы уравнять числа перед столбиком. А ноль сразу после запятой меняет всё: 0,05 меньше 0,5 в десять раз.

02Как их читают и записывают

Название дробной части даёт последний занятый разряд — он же становится знаменателем.

1. Читаем целую часть. В числе 3,405 это «три целых».3 — три целых
2. Читаем дробную как обычное число. 405 — «четыреста пять».405 — четыреста пять
3. Добавляем название последнего разряда. Последняя цифра стоит в тысячных.три целых 405 тысячных

Обратно: «ноль целых двадцать пять сотых» — два знака после запятой, 0,25. Если цифр не хватает, слева дописывают нули: «семь тысячных» — это 0,007, а не 0,7.

03Сравнение: по разрядам, а не по длине

Сначала целые части, потом разряды слева направо. Первое расхождение решает всё.

1. Сравниваем целые части. У 4,1 и 3,999 целые 4 и 3, дальше смотреть не нужно.4,1 > 3,999
2. При равных целых уравниваем длину. Дописываем нули в конце: 0,7 становится 0,70.0,70 и 0,63
3. Идём по разрядам. Десятые: 7 больше 6 — сотые уже не смотрим.0,7 > 0,63

Длина записи не значит ничего: в 0,63 цифр больше, а число меньше.

04Сложение и вычитание в столбик

Правило одно: запятая под запятой. Разряды выравнивают по ней, пустые места дополняют нулями.

  12,70
        +  3,45
          16,15

У 12,7 дописан ноль в сотых — теперь у обоих по два знака. Дальше складывают как целые, а запятую сносят вниз.

  8,30
        − 5,47
          2,83

Вычитание идёт так же. Занимать единицу у соседнего разряда можно ровно как в целых: из трёх десятых в 8,30 занимают для сотых.

05Умножение и деление: запятую ставят в конце

Запятые не выравнивают: сначала считают без них, потом отделяют столько знаков, сколько было в обоих множителях вместе.

1. Умножаем без запятых. Вместо 2,5 × 1,2 считаем 25 × 12.25 × 12 = 300
2. Считаем знаки после запятой. У 2,5 один, у 1,2 один — всего два.1 + 1 = 2
3. Отделяем столько же справа. В 300 отсчитываем два знака.2,5 × 1,2 = 3

   25
        ×  12
           50
        + 25  
          300

Деление на целое: делят как обычно, а на переходе через запятую ставят её в частном. 7,2 : 4 = 1,8.

Деление на дробь: запятую переносят вправо в обоих числах, пока делитель не станет целым. 4,5 : 0,15 = 450 : 15 = 30.

На 10, 100, 1000 умножают и делят сдвигом запятой: 3,4 × 100 = 340, а 3,4 : 100 = 0,034.

06Округление до нужного разряда

Смотрят только на первую отброшенную цифру. Остальные на решение не влияют.

Цифры от 0 до 4 — разряд оставляют как есть, от 5 до 9 — прибавляют единицу. До десятых в 3,472 смотрят на 7 и получают 3,5, до целых — на 4 и получают 3.

Округляют за один шаг. Число 2,449 до десятых — это 2,4: нельзя сначала округлить до сотых и получить 2,45, а потом из него сделать 2,5. Знак ставят не равенства, а приближения: ≈.

07Перевод в обыкновенную дробь и обратно

В одну сторону считают знаки после запятой, в другую — домножают знаменатель до круглого числа.

1. Числитель — цифры после запятой. В 0,25 это 25.числитель 25
2. Знаменатель — единица с нулями. Знаков два, значит нулей два.0,25 = 25/100
3. Сокращаем. И 25, и 100 делятся на 25.25/100 = 1/4

Целая часть остаётся на месте: 3,4 — это 3 2/5. Сокращать обязательно.

Обратно: у 3/8 знаменатель 8 × 125 = 1000, числитель 3 × 125 = 375, запись 0,375.

Так выходит не с каждой дробью: точная запись получается, только если в сокращённом знаменателе одни двойки и пятёрки. У 1/3 деление не заканчивается: 0,333…

08Тренажёр: посчитайте сами

Задания идут вперемешку: столбик, округление, перевод дроби. Лишние нули в конце можно не писать.

Считает браузер, ответы никуда не отправляются. Точка вместо запятой принимается.

09Таблица готовых переводов

Слева знаменатель, сверху числитель, на пересечении — та же дробь десятичной записью.

На узком экране таблица прокручивается вбок.

Сохранить таблицу в PDFоткроется окно печати — там выберите «Сохранить как PDF»

В таблице только знаменатели из двоек и пятёрок — у таких дробей запись конечная. У 1/3 деление не заканчивается: 1/3 ≈ 0,33.