Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Калькулятор выдаёт синус, косинус, тангенс и котангенс сразу, пока вы набираете угол. Для табличных углов ответ дан в точном виде и десятичной дробью: sin 60° = √3/2 ≈ 0,8660. Под ответом показан ход решения и точка угла на единичной окружности.

• угол вводится в градусах, в том числе с минутами и секундами (30°15′20″ или 30 15 20), или в радианах: π/6, 2π/3, 0,5236;
• отрицательные углы и углы больше 360° калькулятор сначала сводит к промежутку от 0° до 360°, а потом приводит к острому углу по формулам приведения;
• где значения нет, так и написано: tg 90° и ctg 180° не существуют, в ходе решения объяснено почему;
• на вкладке «Угол по значению» калькулятор решает обратную задачу: по sin x = 1/2 находит углы 30° и 150° на одном обороте и общую формулу всех решений.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для основных углов

Эти пять углов проходят в 8–9 классе, и через них выражаются значения любых табличных углов от 0° до 360°.

Прочерк значит, что значения нет: tg 90° и ctg 0° не существуют. Ещё два угла дают точные значения через корни: sin 15° = cos 75° = (√6 − √2)/4 ≈ 0,2588, sin 75° = cos 15° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659, tg 15° = ctg 75° = 2 − √3, tg 75° = ctg 15° = 2 + √3.

Точные значения от 0° до 360°

Табличные углы всех четырёх четвертей. Значения повторяют первую четверть, меняется только знак.

Полная таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов от 0° до 360°

Все целые градусы. Точность переключается между четырьмя и шестью знаками после запятой, кнопки с углами прокручивают таблицу к началу нужной четверти. Строки табличных углов выделены.

Таблица Брадиса

Четырёхзначные таблицы В. М. Брадиса дают значения для углов первой четверти с шагом 6′. Строка — целые градусы, столбец — минуты, на пересечении — значение. Например, sin 30°36′ ищут в строке 30° и столбце 36′: 0,5090. Переключатель над таблицей меняет функцию.

В печатной таблице по краям есть поправки на 1′, 2′ и 3′ — их прибавляют, если минуты не делятся на 6. Здесь поправок нет: угол с точностью до минуты или секунды сразу считает калькулятор выше.

Для косинусов у Брадиса отдельной таблицы нет: cos α = sin (90° − α), поэтому косинус читают по таблице синусов, двигаясь от конца. Тангенсы и котангенсы связаны так же: ctg α = tg (90° − α).

Как запомнить таблицу

Синусы углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90° записываются одной формулой: корень из номера угла, делённый на два.

Угол	0°	30°	45°	60°	90°
sin	√0/2 = 0	√1/2 = 1/2	√2/2	√3/2	√4/2 = 1
cos	√4/2 = 1	√3/2	√2/2	√1/2 = 1/2	√0/2 = 0

Косинусы — та же строка справа налево. Тангенс получают делением синуса на косинус, котангенс — наоборот: tg 30° = (1/2) : (√3/2) = 1/√3 = √3/3. Отсюда же видно, почему tg 90° нет: в знаменателе оказывается cos 90° = 0.

Проверить себя можно на единичной окружности: точка угла α имеет координаты (cos α; sin α). При 30° точка лежит ниже середины высоты, поэтому синус меньше косинуса, при 60° — наоборот, при 45° они равны.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям

Четверть	Углы	sin	cos	tg, ctg
I	0°…90°	+	+	+
II	90°…180°	+	−	−
III	180°…270°	−	−	+
IV	270°…360°	−	+	−

Знак синуса совпадает со знаком второй координаты точки на окружности, знак косинуса — с первой. Тангенс и котангенс положительны там, где синус и косинус одного знака, то есть в I и III четвертях.

Формулы приведения для углов больше 90°

Угол из II, III или IV четверти заменяют острым углом α и ставят знак той четверти, где лежит исходный угол.

• II четверть, угол 180° − α: sin (180° − α) = sin α, cos (180° − α) = −cos α. Пример: cos 150° = −cos 30° = −√3/2.
• III четверть, угол 180° + α: sin (180° + α) = −sin α, tg (180° + α) = tg α. Пример: sin 210° = −sin 30° = −1/2.
• IV четверть, угол 360° − α: cos (360° − α) = cos α, tg (360° − α) = −tg α. Пример: tg 300° = −tg 60° = −√3.

Если приводить через 90° или 270°, функция меняется на «кофункцию»: синус на косинус, тангенс на котангенс. Например, sin (90° + α) = cos α. Калькулятор приводит через 180° и 360°, поэтому функция в ходе решения не меняется, меняется только знак.

Углы больше 360° и отрицательные сначала сдвигают на целое число оборотов: синус и косинус повторяются через 360°, тангенс и котангенс — через 180°. Так, cos 405° = cos 45° = √2/2, а sin (−30°) = sin 330° = −1/2.

Градусы и радианы

Полный оборот — 360° или 2π радиан, поэтому 180° = π. Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте на π/180: 60° · π/180 = π/3. Обратно — умножьте на 180/π: 3π/4 · 180/π = 135°. Один радиан ≈ 57,2958°.

В калькуляторе запись с π сама считается радианами, даже если выбраны градусы. Число без π в режиме «Радианы» понимается как десятичная дробь: 0,5236 рад ≈ 30,00007°, поэтому ответ будет приближённым, а не точным √3/2.

Обратные функции подробно разобраны на странице калькулятора арктангенса. Корни вроде √3 ≈ 1,7321 с нужной точностью считает калькулятор квадратного корня, а синус в выражении — инженерный калькулятор.

---

Источники информации

• Институт стратегии развития образования — федеральная рабочая программа по математике, темы «Тригонометрические функции» и «Формулы приведения».
• Атанасян Л. С. и др. «Геометрия. 7–9 классы» — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, значения для 30°, 45° и 60°.
• Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы» — радианная мера угла, знаки и формулы приведения.
• Брадис В. М. «Четырёхзначные математические таблицы» — таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.

Часто задаваемые вопросы

Чему равен синус 30 градусов?

sin 30° = 1/2 = 0,5. В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы, отсюда и значение.

Чему равен синус 90 градусов?

sin 90° = 1. Угол 90° на единичной окружности приходится на точку (0; 1), а синус равен второй координате точки.

Чему равен тангенс 60 градусов?

tg 60° = √3 ≈ 1,7321. Тангенс равен синусу, делённому на косинус: (√3/2) : (1/2) = √3.

Чему равен косинус 60 градусов?

cos 60° = 1/2 = 0,5. Это то же число, что и sin 30°: косинус угла равен синусу угла, дополняющего его до 90°.

Как найти синус или косинус угла больше 90°?

Привести угол к острому по формулам приведения и взять знак по четверти. Например, sin 150° = sin (180° − 30°) = sin 30° = 1/2, а cos 150° = −cos 30° = −√3/2. Углы больше 360° сначала уменьшают на целое число оборотов: sin 750° = sin 30°.

Почему тангенс 90° не существует?

tg α = sin α / cos α, а cos 90° = 0. На ноль делить нельзя, поэтому у тангенса 90° и 270° значения нет. По той же причине нет котангенса 0°, 180° и 360°: там равен нулю синус.

Что такое таблица Брадиса?

Четырёхзначные таблицы значений функций, которые составил математик В. М. Брадис. В таблице синусов строки — градусы, столбцы — минуты с шагом 6′, на пересечении — значение с четырьмя знаками после запятой. По той же таблице читают и косинусы: cos α = sin (90° − α).

Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов?

Запишите синусы углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° как √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. После упрощения получится 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Косинусы — те же числа в обратном порядке.

---