Разложение числа на простые множители
Калькулятор раскладывает натуральное число на простые множители и показывает решение целиком: каноническую запись со степенями, деление столбиком и дерево множителей. Разобрать можно как одно число, так и сразу несколько. Расчёт ведётся в целочисленной арифметике без округлений, поэтому подходят и короткие, и длинные числа.
Как пользоваться калькулятором
Введите число в поле — например, 360 — и нажмите «Рассчитать». Калькулятор сразу покажет разложение и распишет, как оно получено. Чтобы разобрать несколько чисел за один раз, перечислите их через запятую: 12, 18, 24. Кнопки-примеры под полем подставляют готовые значения.
- Число должно быть натуральным — целым и больше единицы.
- Пробелы внутри длинного числа убирать не нужно: 1 000 000 распознаётся как 1000000.
- Для одного числа выводятся каноническая запись, столбик и дерево; для нескольких — сводная таблица.
- Максимум — 10¹³ (14 цифр), этого хватает для любой школьной задачи.
Что такое простые множители
Простое число делится без остатка только на единицу и на само себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и далее. У составного числа делителей больше — скажем, 12 делится ещё на 3, 4 и 6. Единицу к простым числам не относят: у неё всего один делитель.
Разложить число на простые множители — значит записать его как произведение простых чисел: 12 = 2 · 2 · 3. По основной теореме арифметики такое разложение есть у любого натурального числа больше единицы, и оно единственно с точностью до порядка множителей. Поэтому ответ не зависит от того, с какого делителя вы начали.
Как разложить число на простые множители
Вручную число раскладывают пробным делением — делят на простые числа по очереди, начиная с самого маленького:
- Возьмите наименьшее простое число 2 и проверьте, делится ли на него число без остатка.
- Если делится — разделите и выпишите 2 в множители; делите на 2, пока это возможно.
- Перейдите к следующему простому числу — 3, потом 5, 7, 11 — и повторите проверку.
- Продолжайте, пока в частном не останется 1. Все выписанные делители и есть простые множители.
Удобнее записывать это столбиком: слева — делимое, справа — простой делитель. Разложим 360:
| Делимое | Простой делитель |
|---|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 | — |
Перемножив делители справа, получаем 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, или в канонической записи 360 = 23 · 32 · 5. Тот же расчёт калькулятор рисует деревом множителей: на каждом шаге число распадается на простой делитель и остаток, пока все ветви не закончатся простыми числами.
Признаки делимости в помощь
Чтобы быстрее подобрать делитель, держите под рукой признаки делимости — они подсказывают, на какое простое число делить в первую очередь.
| Делитель | Признак делимости | Пример |
|---|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8) | 174 → делится |
| 3 | сумма цифр делится на 3 | 171 → 1+7+1=9 |
| 4 | две последние цифры образуют число, кратное 4 | 1316 → 16 |
| 5 | последняя цифра 0 или 5 | 245 → делится |
| 6 | делится сразу на 2 и на 3 | 132 → да |
| 9 | сумма цифр делится на 9 | 693 → 6+9+3=18 |
| 10 | последняя цифра 0 | 250 → делится |
Простые числа до 100
С этих чисел и начинается перебор делителей. До 100 простых чисел ровно 25:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Найти все простые числа в нужном диапазоне помогает решето Эратосфена: выписывают подряд натуральные числа и вычёркивают кратные каждому очередному простому — то, что осталось, и есть простые.
Где это пригодится
Разложение на множители — не только школьное упражнение. На него опираются при сокращении обыкновенных дробей: числитель и знаменатель делят на общие простые множители и получают несократимую дробь. Через разложение находят наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — для НОД берут общие простые в наименьшей степени, для НОК все простые в наибольшей.
А на сложности разложения очень больших чисел держится криптография с открытым ключом, например алгоритм RSA: перемножить два больших простых легко, а восстановить их из произведения — практически невозможно.
Источники
Определения простых и составных чисел и приём разложения на множители относятся к школьному курсу математики 6 класса и соответствуют действующим программам:
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. «Математика. 6 класс» — тема «Разложение на простые множители».
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Математика. 6 класс» — делимость натуральных чисел, простые и составные числа.
- Институт стратегии развития образования — федеральная рабочая программа по математике.
Частые вопросы о разложении на множители
Это представление числа в виде произведения простых чисел. Например, 84 = 2 · 2 · 3 · 7. По основной теореме арифметики такое разложение есть у каждого натурального числа больше единицы, и оно единственно с точностью до порядка множителей.
Делите его на простые числа по очереди, начиная с 2: пока число делится на 2 — делите на 2, затем на 3, на 5, на 7 и так далее, пока в частном не останется 1. Выписанные делители и есть простые множители числа.
У простого числа ровно два делителя — единица и само число (2, 3, 5, 7, 11…). У составного делителей больше: например, 12 делится ещё на 3, 4 и 6. Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.
Это запись разложения со степенями, в которой одинаковые множители собраны вместе: 360 = 2³ · 3² · 5. Она короче перечня 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 и удобна для поиска НОД, НОК и количества делителей.
Если при разложении у числа не нашлось ни одного делителя, кроме единицы и его самого, оно простое. Достаточно проверить делители до квадратного корня из числа: не подошёл ни один — число простое. Калькулятор определяет это автоматически.
Количество делителей считают по показателям степеней: к каждому прибавляют единицу и перемножают. Для 360 = 2³ · 3² · 5 это (3+1)(2+1)(1+1) = 24 делителя. Калькулятор показывает это число в ответе.
Поделиться страницей
Комментарии