Арктангенс

Калькулятор находит арктангенс и арккотангенс числа сразу в трёх видах — точном (например, π/4), в радианах и в градусах, — а также решает тригонометрическое уравнение tg x = a и вычисляет угол наклона по координатам. Под калькулятором строится график функции с отмеченной точкой. Инструмент подойдёт школьникам и студентам при подготовке к ЕГЭ, а также инженерам и программистам.

• находит arctg(x) и arcctg(x) для любого числа или выражения (√3, 1/√3, 2−√3);
• показывает точное значение угла (π/6, π/4, π/3) там, где оно существует;
• выводит ответ в радианах, градусах и в формате градусы-минуты-секунды;
• решает уравнение tg x = a и ctg x = a с общей формулой x = arctg a + πn;
• считает угол наклона вектора по координатам (функция atan2);
• строит интерактивный график y = arctg(x) с асимптотами.

Как пользоваться калькулятором арктангенса

Калькулятор состоит из трёх вкладок. На вкладке «Арктангенс» введите число в поле «Значение x» — результат появится сразу, без нажатия кнопки. Можно вводить не только числа, но и выражения: √3, 1/√3, 2-√3, дроби через запятую или точку. Кнопки-примеры под полем подставляют табличные значения.

• «Арктангенс» — по числу x находит угол: arctg(x) или arcctg(x) (выбирается в списке «Функция»).
• «Уравнение tg x = a» — решает уравнение относительно x и выводит общую формулу корней и таблицу решений.
• «Угол по координатам» — находит угол наклона по проекциям Δx и Δy через функцию atan2.

В блоке «Метод расчёта» показывается ход решения, а список «Округление результата» задаёт число знаков после запятой. Сервис бесплатный, работает без регистрации на телефоне, планшете и компьютере.

Что такое арктангенс

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция к тангенсу. Арктангенс числа x — это тот единственный угол θ из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен x. Другими словами, если tg θ = x, то θ = arctg x. Например, arctg 1 — это угол, тангенс которого равен единице; таким углом является 45° (π/4).

В российской школе используют обозначение arctg x. В зарубежной литературе и на калькуляторах чаще встречается запись arctan x или tan⁻¹ x — это одна и та же функция. Верхний индекс «−1» здесь означает обратную функцию, а не деление.

В отличие от тангенса, который не определён при x = π/2 + πn, арктангенс определён для любого действительного числа — от −∞ до +∞. При этом он всегда возвращает угол строго между −90° и 90°. Таким образом:

• Область определения: все действительные числа, D(arctg) = (−∞; +∞).
• Область значений: интервал E(arctg) = (−π/2; π/2), то есть (−90°; 90°).

Таблица значений арктангенса

Табличные (точные) значения арктангенса и арккотангенса для стандартных аргументов — их полезно помнить при подготовке к экзаменам:

Значения π/2 и 0 для арктангенса и арккотангенса не достигаются, а являются пределами: график приближается к горизонтальным асимптотам, но не касается их.

Свойства арктангенса и график

Арктангенс — нечётная и монотонно возрастающая функция. Её основные свойства:

• Нечётность: arctg(−x) = −arctg(x). Например, arctg(−1) = −arctg(1) = −π/4.
• Монотонность: функция возрастает на всей числовой прямой.
• Асимптоты: прямые y = π/2 и y = −π/2 — горизонтальные асимптоты графика.
• Производная: (arctg x)′ = 1 / (1 + x²). Она всюду положительна, что и подтверждает возрастание.
• Интеграл: ∫ dx / (1 + x²) = arctg x + C — арктангенс появляется как первообразная.
• Значение в нуле: arctg 0 = 0, график проходит через начало координат.

Есть и полезное тождество для взаимно обратных аргументов: arctg x + arctg(1/x) = π/2 при x > 0 и −π/2 при x < 0. График арктангенса — плавная S-образная кривая, зажатая между асимптотами y = ±π/2; его можно рассмотреть прямо в калькуляторе на вкладке «Арктангенс».

Арккотангенс

Арккотангенс (arcctg x) — функция, обратная котангенсу. Арккотангенс числа x — это угол θ из интервала (0; π), котангенс которого равен x. Как и арктангенс, арккотангенс определён для всех действительных чисел, но его область значений другая — (0; π), то есть от 0° до 180°.

Арктангенс и арккотангенс связаны простым тождеством: arctg x + arcctg x = π/2 для любого x. Поэтому, зная одно значение, легко получить второе. Арккотангенс — убывающая функция, а его горизонтальные асимптоты — прямые y = 0 и y = π.

Решение уравнения tg x = a

Арктангенс — ключ к решению простейшего тригонометрического уравнения с тангенсом. Уравнение tg x = a имеет решения при любом действительном a, и его общая формула такова:

x = arctg a + πn,   n ∈ ℤ

Здесь arctg a — главное значение (угол из промежутка (−π/2; π/2)), а слагаемое πn учитывает период тангенса, равный π. Например, для tg x = 1 главное значение равно π/4, а всё множество корней записывается как x = π/4 + πn.

Аналогично решается уравнение с котангенсом: ctg x = a имеет решения x = arcctg a + πn, где arcctg a лежит в интервале (0; π). Обе формулы уже встроены в калькулятор — откройте вкладку «Уравнение tg x = a», чтобы увидеть общую формулу и таблицу конкретных корней.

Где применяется арктангенс

Арктангенс нужен всюду, где по отношению двух величин требуется найти угол:

• Геометрия: нахождение углов прямоугольного треугольника по катетам — угол равен arctg(противолежащий / прилежащий).
• Физика: расчёт угла наклона траектории, сложение векторов, угол падения.
• Строительство и инженерия: перевод уклона (в процентах или отношении высоты к длине) в угол наклона: α = arctg(k).
• Программирование и графика: функция atan2(y, x) определяет направление вектора с учётом четверти — поворот объектов, курс движения.
• Навигация: вычисление курса и пеленга по разности координат.

---

Источники

Определения обратных тригонометрических функций и формулы решения уравнений относятся к курсу алгебры и начал анализа 10 класса:

• Институт стратегии развития образования — федеральная рабочая программа по математике, раздел «Тригонометрические функции и уравнения».
• Федеральный перечень учебников Минпросвещения России — действующие учебники алгебры и начал анализа для 10–11 классов.
• Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы» — глава «Обратные тригонометрические функции».
• Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа. 10 класс» — тема «Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a».

Частые вопросы об арктангенсе

Чему равен арктангенс 1?

Арктангенс единицы равен π/4 радиан, то есть 45°. Это угол из промежутка (−90°; 90°), тангенс которого равен 1: tg 45° = 1, поэтому arctg 1 = 45°.

Чему равен арктангенс 0?

Арктангенс нуля равен нулю: arctg 0 = 0. Тангенс угла 0° равен нулю, а ноль попадает в область значений арктангенса, поэтому единственный подходящий угол — это 0.

Чем отличаются обозначения arctg, arctan и tan⁻¹?

Это три записи одной и той же функции — арктангенса. В российской школе принято обозначение arctg, в зарубежной литературе чаще пишут arctan или tan⁻¹. Верхний индекс −1 означает обратную функцию, а не степень.

Какая область определения и область значений у арктангенса?

Область определения арктангенса — все действительные числа от −∞ до +∞. Область значений — интервал (−π/2; π/2), то есть от −90° до 90°, не включая концы. Прямые y = ±π/2 являются горизонтальными асимптотами графика.

Как решить уравнение tg x = a?

Общее решение уравнения tg x = a записывается формулой x = arctg a + πn, где n — любое целое число. Тангенс имеет период π, поэтому к главному значению arctg a добавляют πn. Например, tg x = 1 даёт x = π/4 + πn.

Чему равна производная арктангенса?

Производная арктангенса равна 1 / (1 + x²): (arctg x)′ = 1 / (1 + x²). Отсюда следует и обратная формула интегрирования: ∫ dx / (1 + x²) = arctg x + C.

Как связаны арктангенс и арккотангенс?

Для любого действительного числа x выполняется тождество arctg x + arcctg x = π/2. Арккотангенс определён на всей числовой прямой, а его область значений — интервал (0; π).

Как перевести арктангенс из радианов в градусы?

Значение в радианах нужно умножить на 180/π ≈ 57,2958. Например, π/4 радиан = π/4 · 180/π = 45°. Калькулятор показывает результат сразу в радианах, градусах и в формате градусы-минуты-секунды.