Калькулятор степеней

Как пользоваться калькулятором степеней

Калькулятор возводит число в степень: введите основание (число, которое возводят) в поле «Число», показатель степени - в поле «Степень» и нажмите «Вычислить». Ответ и пошаговое решение появятся ниже. Основание может быть целым, дробным или отрицательным, а показатель - положительным, отрицательным, нулём или дробным.

• «Число» - основание степени, то, что умножают само на себя.
• «Степень» - показатель: сколько раз перемножается основание (а при дробном показателе - какой берётся корень).
• «Вычислить» - выводит результат и разбор по шагам.
• «Очистить» - сбрасывает поля и ответ.
• «Копировать результат» - переносит ответ в буфер обмена.

Сервис бесплатный, работает без регистрации на телефоне, планшете и компьютере. Он пригодится школьникам 5–7 классов и их родителям, студентам и всем, кому нужно быстро возвести число в степень и проверить вычисления.

Что такое степень числа

Степень - это короткая запись произведения одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что основание a берут множителем n раз: aⁿ = a · a · ... · a. Число a называют основанием степени, число n - показателем степени. Например, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8: здесь 2 - основание, а 3 показывает, сколько раз перемножается двойка.

Вторую степень числа называют его квадратом (a²), третью - кубом (a³). Степени помогают коротко записывать большие произведения и встречаются в формулах площади и объёма, в процентах и в записи очень больших чисел.

Как возвести число в степень

Чтобы возвести число в натуральную степень, его последовательно умножают само на себя столько раз, сколько указано в показателе. Калькулятор повторяет эти шаги: каждый следующий шаг умножает предыдущий результат на основание.

Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. По цепочке это считается так: 3 · 3 = 9, дальше 9 · 3 = 27, и наконец 27 · 3 = 81. Так же находят 2⁶ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64.

Свойства степеней

Действия со степенями упрощают по их свойствам - они работают, когда у степеней одинаковое основание или одинаковый показатель:

• Произведение степеней с одинаковым основанием - показатели складывают: a^m · aⁿ = a^m+n. Например, 2³ · 2² = 2⁵ = 32.
• Частное степеней с одинаковым основанием - показатели вычитают: a^m : aⁿ = a^m−n (a ≠ 0).
• Степень степени - показатели перемножают: (a^m)ⁿ = a^m·n.
• Степень произведения: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• Степень дроби (частного): (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (b ≠ 0).
• Показатель 1: число в первой степени не меняется - a¹ = a.

Нулевая, отрицательная и дробная степень

Нулевая степень. Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице: a⁰ = 1 (a ≠ 0). Выражение 0⁰ в школьной математике считают неопределённым.

Отрицательная степень означает обратное число: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0). Например, 2⁻³ = 1 / 2³ = 1 / 8 = 0,125. Минус в показателе не делает результат отрицательным - он указывает на деление.

Дробная степень - это корень: a в степени m/n равно корню степени n из a^m. Например, 9^1/2 = √9 = 3, а 8^1/3 = ∛8 = 2. Отрицательное число в дробную степень в действительных числах не возводят - результатом было бы комплексное число, поэтому калькулятор сообщит об ошибке.

Таблица степеней чисел от 2 до 10

Квадраты, кубы и степени до десятой для чисел от 2 до 10. Нажатие на любое значение открывает калькулятор с этим примером и разбором по шагам.

Таблица прокручивается вбок: правее n¹⁰.

Вторая степень - это квадрат числа, третья - куб. Дальше значения растут быстро: 2¹⁰ уже 1024, а 10¹⁰ - десять миллиардов.

Степени двойки: от 2⁰ до 2¹⁰⁰

Двойку возводят в степень чаще других чисел. В ряду ниже показаны все степени от нулевой до шестнадцатой и отдельно те, что встречаются в информатике.

2¹⁰ = 1024 - столько байт в килобайте, 2²⁰ даёт мегабайт, 2³² - число адресов в IPv4, а 2⁶⁴ - предел 64-битного счётчика.

Степени десятки: от 10⁻⁶ до 10¹²

У десятки показатель совпадает с числом нулей: 10⁶ - единица с шестью нулями. Отрицательный показатель сдвигает запятую влево на столько же знаков.

Нулевая, отрицательная и дробная степень: готовые ответы

Три случая, которые чаще всего сбивают с толку. Ответ в таблице посчитан, а ссылка открывает полный разбор в калькуляторе.

Нужного примера в таблицах нет - впишите основание и показатель в поля калькулятора наверху страницы: он считает и отрицательные показатели, и дроби вида 2/3.

---

Источники информации

Определения и правила взяты из школьного курса математики: степень с натуральным показателем вводят в 5 классе, свойства степеней разбирают в курсе алгебры 7 класса.

• Федеральный перечень учебников Минпросвещения России - действующие учебники математики и алгебры.
• Федеральные рабочие программы по математике (Институт стратегии развития образования им. В.С. Леднева) - раздел «Степень с натуральным показателем».
• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. «Математика. 5 класс» - тема «Степень числа. Квадрат и куб числа».
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра. 7 класс» - глава «Степень с натуральным показателем и её свойства».

Частые вопросы о возведении в степень

Чему равно число в нулевой степени?

Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице: 5⁰ = 1, 100⁰ = 1. Это одно из основных свойств степеней. Выражение 0⁰ в школьной программе считают неопределённым.

Как возвести число в отрицательную степень?

Нужно взять обратное число и возвести его в ту же положительную степень: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Например, 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8 = 0,125. Знак минус в показателе не делает результат отрицательным - он означает деление.

Что такое дробная степень?

Дробный показатель - это корень: a в степени m/n равно корню степени n из a в степени m. Например, 16 в степени 1/4 равно корню четвёртой степени из 16 и равно 2, а 8 в степени 1/3 равно 2. Так дробные степени связывают возведение в степень и извлечение корня.

Можно ли возвести в степень отрицательное число?

Да. Отрицательное основание с чётным целым показателем даёт положительный результат: (−2)² = 4, а с нечётным - отрицательный: (−2)³ = −8. Дробная степень от отрицательного числа в действительных числах не определена - результатом было бы комплексное число.

Можно ли возвести ноль в отрицательную степень?

Нет. Это привело бы к делению на ноль (0⁻ⁿ = 1 / 0ⁿ), поэтому такая операция не определена. Калькулятор в этом случае покажет ошибку.

Чем калькулятор степеней удобнее обычного?

Он сразу показывает решение по шагам, поддерживает отрицательные и дробные показатели, работает с большими числами и помогает проверить домашнее задание без риска ошибиться в промежуточных вычислениях.

Нужно ли платить или регистрироваться?

Нет. Калькулятор степеней бесплатный и работает без регистрации прямо в браузере - на телефоне, планшете и компьютере.

---