Как решать дроби. Примеры с дробями за 5 и 6 класс

Проверить решение поможет наш онлайн-калькулятор дробей.

Что такое дробь или доля от целого

Понять, что такое дробь, легко, если представить что-то целое, разделить его на равные части и взять какое-то количество частей. Для удобства и наглядных примеров вы всегда можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором дробей.

Предположим, у вас есть тортик. Вы его разрезали на 8 ровных, красивых кусочков.

1. Если вы берете один из восьми, для этого будет верно выражение 1/8. Где цифра 1 показывает, сколько кусочков вы взяли, а 8 показывает, на сколько кусков вы делили торт.
2. Если вы берете два кусочка из восьми, то записать это можно как 2/8. Где первая цифра показывает, что в этот раз вы взяли уже 2 кусочка, а вторая цифра показывает на сколько кусков вы поделили торт.
3. Если взять три кусочка из восьми, то записать это можно как 3/8.

Выражения, которые использовались для записи: 1/8, 2/8, 3/8 называются дробями (части чего-либо). Само слово «говорит само за себя» и означает дробление, деление, разделение.

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это число вида «a/b», где «a» — это числитель, «b» — знаменатель. Оба значения — натуральные числа.

Числитель обыкновенной дроби (всегда стоит над чертой) — натуральное число, которое показывает, что мы делим. Это делимое.

Знаменатель обыкновенной дроби (всегда под чертой) — натуральное число, которое показывает, на сколько частей делим. Это делитель.

Черта дроби — символ деления чисел. Черта может быть горизонтальной: a/b или наклонной: a/b.

Равными обыкновенными называются дроби, между которыми можно поставить знак равенства. Так a/b и m/n можно назвать равными, если для них справедливо выражение: a × n = b × m.

Пример: выясним, равны ли: ½ и ³⁄₆?

Для этого составим выражение и сравним: (1 × 6) и (2 × 3). Так как в обоих случаях результат равен 6, то ¹⁄₂ и ³⁄₆ равны (являются равными).

Неравными обыкновенными называются дроби ^a⁄_b и ^m⁄_n, где a × n = b × m не является верным выражением.

Пример: выясним, равны ли ¹⁄₂ и ²⁄₆?

Составляем выражение: (1 × 6) и (2 × 2). В первом случае результат равен 6, во втором 4. Так как 6≠4, то ¹⁄₂ и ²⁄₆ неравны (являются неравными).

Как устроена десятичная дробь

Десятичная дробь — число, которое получается в результате деления числителя на знаменатель, где знаменатель равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

Десятичная дробь отличается формой записи: вместо черты деления используется запятая, которая отделяет целую часть от дробной.

Примеры десятичных дробей:

• 0,6 (ноль целых шесть десятых);
• 2,01 (две целых одна сотая);
• 11,123 (одиннадцать целых сто двадцать три тысячных).

Десятичная дробь может быть конечной или бесконечной. Конечную от бесконечной отличает точно определенное количество цифр после запятой. У бесконечной — это количество не может быть определено, в большинстве случаев их округляют до 1–3 знаков после запятой.

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число может быть представлено в виде дроби. Для этого в качестве знаменателя нужно указывать 1 и дробь будет иметь вид: a/1.

Например, 4 должно быть представлено в виде дроби. Для этого под черту деления нужно записать: 4/1

Любое целое число можно представить в виде дроби с любым знаменателем. Предположим, b нужно представить в виде дробного выражения со знаменателем a. Под черту деления указываем нужное значение (a), а в числитель a × b. Результат будет выглядеть так: a × b/a.

Сокращение дробей

Чтобы сократить дробь, необходимо разделить числитель и знаменатель на одно и тоже натуральное число.

Простым языком, сократить значит сделать короче и проще для восприятия.

Пример: если сравнивать дроби 1/2 и 24/48, то визуально первая кажется намного проще и легче, хотя является сокращенной версией второй.

Правило сокращения дробей: числитель и знаменатель делят на одно и тоже число, рядом записывают полученные значения. Делить можно последовательно, пока итоговая версия не будет выглядеть простой и понятной.

Сравнение дробей

Чтобы сравнивать дроби, нужно запомнить несколько правил:

1. Если знаменатели у дробей одинаковые, то больше та, где числитель больше.

   Например, требуется сравнить: ⅞ и ⅝. Так как у них одинаковый делитель (8), то сравнить нужно делимое. Числитель первой дроби больше (7 > 5), следовательно и 7/8 > 5/8.

2. Если числители у дробей одинаковые, то больше та дробь, где знаменатель меньше.

   Например, требуется сравнить: 8/11 и 8/9. Так как у дробей одинаковые числители (8), то сравнить нужно знаменатели. Знаменатель второй дроби меньше (9 < 11), следовательно и 8/11 < 8/9.

3. Если у дробей разные и числители, и знаменатели, то первоочередное их приводят к общему знаменателю, а потом сравнивают, применяя правило сравнения дробей с общим знаменателем из п.1.

   Например, требуется сравнить: 1/6 и 2/7. Решение: приводим дроби к общему знаменателю: 42. Сравниваем 7/42 и 12/42. По правилу сравнения, больше та дробь, чей числитель больше: 7/42 < 12/42. Результат: 1/6 < 2/7

4. При сравнении неправильных (смешанных) и правильных дробей важно знать, что неправильная всегда будет больше правильной.

   Например, требуется сравнить: 8/15 и 1 1/3. Согласно правилу, дробь 1 1/3 больше, т. к. является неправильной. Объясняется это так: неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная всегда меньше 1.

Обратные и взаимно обратные числа

Взаимно обратными называются числа, произведение которых равно 1. Если a × b = 1, то a и b обратные числа. Обратным называют такое число, которое при умножении на это дает 1.

Например, 4/5 и 5/4 взаимно обратные, т.к. 4/5 × 5/4 = 20/20 = 1

Что важно запомнить:

1. Обратное натуральному числу n, записывается в виде дробного выражения 1/n. Рассуждать нужно так: натуральное число n может быть представлено в виде: n/1, поменяв местами делимое и делитель, получим 1/n. 1/n — обратно числу n. Чтобы проверить, верны ли вычисления, нужно перемножить n и 1/n и получить 1.

   Например, нужно найти обратное числу 134. Так как 134 — это 134/1, то, поменяв местами цифры под и над чертой, получаем 1/134.

2. Число, обратное обыкновенной дроби a/c, является c/a. Чтобы это проверить, нужно умножить a/c на c/a — и получить 1.
   Например, 3/5 и 5/3 — взаимно обратные числа, т.к. 3/5 × 5/3 = 1.
3. Чтобы найти число, обратное смешанному a b/c:

   1. Представьте это смешанное число в виде неправильной дроби: ac + b/c

   2. Найдите число, обратное этой дроби: c/ac + b

   Например, для 2 3/5 обратное число 5/13. Так как 2 3/5 — это 2 × 5 + 3/5 или 13/5. Поменяв значения над и под чертой, получим результат 5/13.

4. Найти число, обратное десятичной дроби, достаточно легко, так как ее всегда можно представить в виде обыкновенной.
   Например, нужно найти число, которое обратно 6,1. Переведем его в обыкновенную дробь: 6,1 = 61/10. Далее меняем местами делимое и делитель и получаем результат: 10/61.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дробь с одинаковым знаменателем: к числителю одной дроби прибавьте числитель второй, знаменатель оставьте тот же: a/b + c/b = (a + c)/b.

В результате выделите целую часть или сократите дробь.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как сложить дроби с разными знаменателями:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей — наименьшее число, которое без остатка делится на каждый знаменатель.
2. Найти дополнительные множители для каждой дроби: наименьшее общее кратное разделить на каждый знаменатель: полученные числа записать сверху на числителе. Так нагляднее.
3. Применим основное свойство к дробям: перемножим числители и знаменатели на дополнительный множитель. После умножения значение под чертой равно наименьшему общему кратному (пункт 1).
4. Складываем дробные выражения по правилу сложения дробей с одинаковым знаменателем.

Для наглядности решение представлено на картинке пошагово:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы вычесть дробь с одинаковым знаменателем: из числителя одной дроби вычтите числитель второй, знаменатель оставить тот же: a/b − c/b = (a − c)/b.

При необходимости можно выделить целую часть или сократить выражение.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы выполнить вычитание, необходимо последовательно выполнять алгоритм.

Как вычесть дроби с разным знаменателем:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей — наименьшее число, которое без остатка делится на каждый знаменатель.
2. Найти дополнительные множители: наименьшее общее кратное разделить на каждый знаменатель. Полученные числа записать сверху над числителем. Так нагляднее.
3. Применить основное свойство дробей: перемножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель. После умножения значение под чертой равно наименьшему общему кратному (пункт 1).
4. Вычитаем дробные выражения, используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Для наглядности решение представлено на картинке пошагово:

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь a/b на с необходимо умножить на с только числитель, знаменатель оставить прежним. То есть: a/b × с = (a × с)/b

Умножение дробей

Чтобы умножить дроби, нужно перемножить значения под чертой и над чертой соответственно.

Если более корректно, то правило звучит так: произведение дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.

Деление дробей

Чтобы разделить дроби, нужно запомнить следующую последовательность действий:

1. Числитель первой умножить на знаменатель второй, результат умножения записать в числитель;
2. Знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель.

Если использовать более строгий подход, то правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй: a/b ÷ n/m = (a × m)/(b × n).

Деление дроби на число

Чтобы разделить дробь на число, выполните следующее:

1. Представьте число в виде дроби, «переверните её» (поменяйте местами делитель и делимое).
2. Умножить первую дробь на новую по правилу умножения.

Правило звучит так: дробь умножается на число, обратное второму:
a/b ÷ с = a/b × 1/c = (a × 1)/(b × с)

Деление числа на дробь

Чтобы разделить число на дробь, выполните следующее:

1. «Переверните» дробь — поменяйте местами числитель и знаменатель.
2. Умножаем число и дробь по правилу умножения

Правило звучит так: число умножается на дробь, обратную этой:
с ÷ a/b = с × b/a = (с × b)/a

Пример: 18 ÷ 1/3 = 18 × 3/1 = 54/1 = 54

Как решать дроби. Примеры

В этом разделе представлены основные примеры сложения, вычитания, деления и умножения дробей.

Задания и примеры для самостоятельного решения

В этом разделе мы подготовили интересные задания, которые помогут закрепить пройденный материал: